Re: [中學] 關於不等式問題

[alan23273850 (God of Computer Science)]

※ 引述《csy0504 (csy)》之銘言：
: 各位大師好，
: 想請教一題不等式問題，看了題目很像不難卻不知從何下手，只能po上來跟各位求救了~~~感謝~~~
: http://i.imgur.com/ts3yAdh.jpg
: （上面寫的答案不一定是正確答案）
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: Sent from JPTT on my Google Pixel 3a XL.

(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx) ... by 乘法公式

所以 2(xy+yz+zx) = (x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2)
                 = (x+y+z)^2 - 6(x+y+z) ... by 本題限制式
                 = ( (x+y+z) - 3 )^2 - 9
故當 x+y+z=3 (很難算但必定存在) 時有最小值 -9/2.

要說明必定存在，可以試著把 x 和 y 用 z 去表示，也就是
(1) x   + y   = 3  - z
(2) x^2 + y^2 = 18 - z^2
由上面兩式可以推得 xy = [(3-z)^2 - (18-z^2)]/2 = (2z^2-6z-9) / 2，
故 x 和 y 必定為 t^2 + (z-3)t + (2z^2-6z-9)/2 = 0 的兩根，根據公式解
為 2t = (3-z) +/- \sqrt((z-3)^2-2(2z^2-6z-9)) = 3-z +/- \sqrt(-3z^2+6z+27)
                                           2t = 3-z +/- \sqrt(-3(z-1)^2 + 30)
讓 z=1，那麼 2t = 2 +/- \sqrt(30)，所以此時 x = 1 + \sqrt(7.5)
                                            y = 1 - \sqrt(7.5).
確定是一組解。
題外話，看到上面的解法才發現可以稍微用猜的，先假設 x = y = z = 1，再動態調整
讓 x = 1 + d，y = 1 - d，那麼 x^2 + y^2 = 2(1+d^2) = 17，也能得到 d=\sqrt(7.5)

要找最大值，可知要盡量讓 x+y+z 遠離 3，那麼如何得知 x+y+z 的上限？
根據柯西不等式：

(x^2+y^2+z^2) * (1^2+1^2+1^2) >= (x+y+z)^2
6(x+y+z) * 3 >= (x+y+z)^2 ... by 本題限制式
           0 >= (x+y+z)^2 - 18(x+y+z)
          81 >= (x+y+z-9)^2
由此可知 x+y+z 只能落在 0 到 18 之間，最遠離 3 的話只能挑 18，
很剛好地此時 x = y = z = 6 也是有解的，最大值便為 108。

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→ Poincare    : 要完整解答的話可能必須解釋 “很難算但必定存在”
→ cmrafsts    : 就球面和平面的交點
→ alan23273850: 我那時是在想說可以先設成 (4,-1,0) 再去動態調整
→ alan23273850: 後來發現調不出來 XDXD
→ alan23273850: 回二樓，檢查原點到平面距離是否超過球面半徑即可.
→ alan23273850: 再不來就是去解 x+y=3-z, x^2+y^2=18-z^2，看能不
→ alan23273850: 能都用z去表示，這樣只要調整z讓x,y都合法也行。
→ alan23273850: 補充！上面可以得到 xy 的表示式，這樣就可以用根
→ alan23273850: 與係數關係了！選我正解
※ 編輯: alan23273850 (140.109.16.166 臺灣), 03/11/2021 13:25:27