推 airpig : 謝謝你~~~ 03/12 16:12
推 hjkkk123 : 過幾年來看真的佩服當年有毅力想這些難題，進班之 05/22 00:47
→ hjkkk123 : 後呈現腦死狀態xD 05/22 00:47
※ 引述《airpig (飛天豬)》之銘言：
: ※ 引述《LPH66 (杇瑣)》之銘言：
: : 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... + 1/65 - 1/66 + 1/67
: : = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/67) - 2(1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/66)
: : = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/67) - (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/33)
: : = 1/34 + 1/35 + ... + 1/67
: : = (1/34 + 1/67) + (1/35 + 1/66) + ... + (1/50 + 1/51)
: : = 101/(34*67) + 101/(35*66) + ... + 101/(50*51)
: : 由於 101 是質數 因此分子的 101 不會消掉 故一個可能的 k 值是 101
: 請問有高手可以幫忙講解解釋一下，如果出來的分子的倍數是合數的是否也成立?
: 例如: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... + 1/1345 - 1/1346 + 1/1347
: = 2021/(674*1347) + 2021/(675*1346) + ... + 2021/(1010*1011)
重點其實在於題目有要把結果約到最簡
如果沒有約的話隨便什麼分數的分子都可以說是隨便哪個整數的倍數...
但既然要約就要知道這個公因數會不會被消掉
原題是故意設計成頭尾相加時可以湊出一個質因數 101 在分子
也就是原式能寫成 101 * [1/(34*67) + 1/(35*66) + ... + 1/(50*51)]
[] 裡通分之後的結果可以寫成 101 * N / (34*35*36*...*66*67) 其中 N 是某個大整數
可以看到分母這個連乘是不會有 101 這個質因數的
所以就算約到最簡, 分子還是 101 的倍數
那如果這個數不是質數就會發生分母通分之後出現公因數所以消掉了
以你舉的 2021 = 43*47 為例
在 674 ~ 1347 這個範圍裡顯然會有 43 的倍數和 47 的倍數各至少一個
(例如 43*20 = 860 和 47*20 = 940)
所以相加通分之後
2021 * N' / (674*675*...*860*...*940*...*1347)
這個分數我們能把 2021 約掉
剩下的 N' 我們幾乎沒有資訊的所以也不知道約完之後會不會還有留
－－講幾乎沒有其實是指幾乎沒有好算的
真要求的話基本上沒有比直接一個一個通分之後加起來還容易判斷的方法
不過稍微簡單看一下的話
例如你的例子, 通分後分母的質因數有很多 43, 大多數項的分子的 43 個數應該一樣
只有少部份會少一兩個, 但這些少部份的分子加起來並不一定會補回缺少的 43
47 的狀況同理, 所以最後約分完分子應該不會剩下 43 和 47
也就是說最後的結果分子應該不會是 2021 的倍數
(實際怎樣就真的要細算了:
我是有寫了個小程式算, 它回報說這分子確實不是 43 和 47 的倍數)
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01010011 01101110 01010110 01111010 01100100 01000011 01000010 01001110 011000
10 00110010 00110101 01110000 01100001 00110010 01000101 01110101 01001001 010
00101 01001110 01101000 01100010 01101001 01000010 00110101 01100010 00110011
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