Re: [中學] 三角形的函數範圍

[LPH66 ( )]

※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之銘言：
: 請教一題：
: 三角形ABC中，
: 令k=cos(2A)+2cosB+2cosC，試求k的範圍。
:
因 B C 是對稱的, 先來考慮固定 A 求 B, C 如何取才能最大

由於固定 A, B+C = π-A 也是固定的

而由和差化積知 cosB + cosC = 2 cos((B+C)/2) cos((B-C)/2)

因為 B+C = π-A < π, (B+C)/2 < π/2, 所以 cos((B+C)/2) 是正的

因此 cosB + cosC 的最大最小值與 cos((B-C)/2) 的最大最小值同步

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最大值

由上知固定 A 的話, (B-C)/2 = 0 即 B = C 時可得最大值

代入 A = π-2B 的話可得

k = cos(2π-4B) + 4cosB = cos4B + 4cosB

倍角公式展開再令 u = cosB 得 k = 8u^4 - 8u^2 + 4u + 1

因為 0 ≦ u^2 ≦ 1 所以 8u^4 - 8u^2 = 8u^2 (u^2 - 1) ≦ 0

也就是在這範圍內 k ≦ 4u+1 ≦ 5

右邊不等號在 u = 1 取相等, 而此時左邊不等號也有相等 (8u^4 - 8u^2 = 0)

故 u = 1 時的 k = 5 確為極大值

但 u = 1 表示 cosB = 1 即 B (= C) = 0, 這是退化三角形

所以可知實際上界是 k < 5

(這裡的四次式直接求極值有點麻煩, 是可以用一點基本微積分硬上啦但...

 這個做法是看到 8u^4 - 8u^2 這一塊, 加上函數圖形參考才有的:

 https://i.imgur.com/ZKnt7Nt.png 藍線是這四次式, 紅線是 4u+1)

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最小值

同樣固定 A 的話, B 和 C 差越多值越小 (因為是三角形所以不會差到超過π)

因此最小的狀況是 C = 0 (所以也是退化三角形), 於是 A+B = π

代入原式, 一樣倍角公式展開後換成 u = cosB 得 k = 2u^2 + 2u + 1

求極值的過程略; 最小值出現在 u = -1/2 的時候, 此時 k = 1/2

u = -1/2 表示 cosB = -1/2, 即 B = 2π/3, A = π/3

同樣由於這是退化情形, 因此可知實際下界為 k > 1/2

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綜上, 所求範圍為 1/2 < k < 5

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將很小又單純的命令《Code》組合成函數《Function》。函數累積成更大更方便的元件《
Parts》，成為程式《App》。接著進行動態結合，相互通訊，打造出服務《Service》。
李奧納多知道，要得到結果，就必須持續進行非常單純的作業。為了展現出匹敵巨大建築
的技術，現在非得將面前的碎片組合起來。
知道這條路多麼遙遠的人，叫做極客《Geek》。
將這份尊貴具體呈現的人，叫做駭客《Hacker》。      －－記錄的地平線 Vol.9 p.299

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→ yyc2008     : 請問LP大 cosB + cosC 的最大最小值與 cos((B-C)/2)
→ yyc2008     : 最大最小同步 可以解釋一下嗎?
推 TOMOHISA    : 因為固定A了，感謝L大詳細解答
→ yyc2008     : 固定A 可是有(B+C)/2跟(B-C)/2 為什麼最後由(B-C)/2
→ yyc2008     : 決定呢?
→ LPH66       : 因為這是三角形, 固定 A 表示 π-A = B+C 固定
→ LPH66       : 所以 cos((B+C)/2) 是個正的常數
→ LPH66       : 因此 cos((B-C)/2) 越大乘積就越大
※ 編輯: LPH66 (180.177.0.237 臺灣), 03/27/2021 20:55:41
推 yyc2008     : 謝謝LPH大，我看懂了