[微方] 一階差分方程求特解（訊號類題目）

[ted010233 (yh1007)]

題目
 y[n]-1/9y[n-2] = x[n-1]

Initial condition
y[-1]= 1, y[-2] =0, x[n]=u[n]

我先解出 y(h)[n]=a(1/3)^n+b(-1/3)^n
然後再用 y(p)[n]=k (for n>=0)
求特解得 y(p)[n]=9/8 (for n>=0)
然後再寫 y(c)[n]={y(h)+y(p)}u[n]

接著利用題目及初始值推出以下來解y(c)的a和b
y[n]=x[n-1]+1/9y[n-2]

y[0]=x[-1]+1/9y[-2]    ~~~e
y[1]=x[0]+1/9y[-1]      ~~~f
y[2]=x[1]+1/9y[0 ]      ~~~g

接著我應該用
(1)ef來解ab 答y(c)[n]={y(h)+y(p)}u[n]
(2)fg來解ab 答y(c)[n]={y(h)+y(p)}u[n-1]
哪一個才是對的

糾結的點在於特解必須要符合n>=0
y的complete解也是
但因為題目有一項x[n-1］
因此在帶e式的時候會出現n是小於0的x[-1]
裡要直接把他當作initial condition（u[-1]=0 ）來看就好還是要用n大於0的fg式來解
（碰巧這題的答案不影響 因為在0的時候值為0，但在別題有差）

感謝

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※ 編輯: ted010233 (163.25.119.63 臺灣), 04/13/2021 00:55:30
※ 編輯: ted010233 (163.25.119.63 臺灣), 04/13/2021 00:56:01
※ 編輯: ted010233 (101.12.38.195 臺灣), 04/13/2021 02:44:43
→ RicciCurvatu: 我看不懂你的符號 []是微分?  那你初始條件是不是要
→ RicciCurvatu: 給定點?
→ kerry0720   : 這是差分吧？
對 忘記備註了...
→ kerry0720   : 離散訊號？
推 chemmachine : 本來也看不懂，查了一下是差分方程。
→ chemmachine : https://reurl.cc/L0o0Qy
→ chemmachine : 差分方程、遞迴數列，微分方程都可以用特徵方程式
→ chemmachine : 來解，如果結構夠好的話
→ chemmachine : y[n]-1/9y[n-2] = x[n-1] 的特徵方程為x^2-1/9=0
→ chemmachine : x=+-1/3
→ chemmachine : 令x[n-1]=k(在少數點有例外值，剔除就好)為constant
→ chemmachine : 即找尋a_n-1/9a_(n-2)=k遞迴數列之解
→ chemmachine : 公式解為a_n=a*(1/3)^n+b*(-1/3)^n+alpha alpha常數
→ chemmachine : 令a_n-alpha=1/9(a_n-2-alpha)
→ chemmachine : alpha=9/8*k=9/8x[n-1]
→ chemmachine : x[n]=u[n-1] u為unit step function
推 chemmachine : 根據zill 的ode課本(台大電機微分方程用書)裡unit
→ chemmachine : step fuction定義
推 chemmachine : https://imgur.com/a/Spf4iRJ
→ chemmachine : x[-1]=0 x[0]=1 x[1]=1.....x[n]=1 for n>=0
→ chemmachine : 故你的f式 g式沒問題 求得的解為公式解
→ chemmachine : 但e式為特殊值，要另外寫
→ chemmachine : 故你的公式解滿足y_n=a*(1/3)^n+b*(-1/3)^n+alpha
推 kerry0720   : 可以先試試看令一個新的函數g[n]=y[n+1]然後解g[n]
→ kerry0720   : 應該可以避開初始值問題
→ chemmachine : n>=1 但n=0時 y[0]用你的initial去帶，不合公式解
→ chemmachine : 寫解答時公式姐和特殊解並列一起寫
→ kerry0720   : 不過這題我寫出來以後答案有四個區塊，我想應該沒
→ kerry0720   : 辦法直接解差分方程
→ kerry0720   :  https://i.imgur.com/mzjpbc1.jpg
※ 編輯: ted010233 (101.12.38.195 臺灣), 04/13/2021 10:09:14
※ 編輯: ted010233 (101.12.38.195 臺灣), 04/13/2021 10:09:52
推 chemmachine : 公式解n代enen或odd剛好會消成1/9的樣子，所以應該
→ chemmachine : 是一樣的。
→ kerry0720   : c大可以傳一下計算過程嗎～想了解
推 chemmachine : https://imgur.com/a/GM8Hajn 奇偶要分開討論
推 chemmachine : 我所描述的方法在高中數學競賽遞迴數列的章節都有
→ chemmachine : 細節就是要自己做檢查 奇偶還是可以用indicator
→ chemmachine : function 或其他特殊函數做結合，不過那沒意義
推 chemmachine : n<0是也是可以做的也是類似，只是我做數列通常是大
→ chemmachine : 於0，initial condition看題目是n>0還是也有n<0的邊
→ chemmachine : 界
→ kerry0720   : 了解感謝