[微積] 想問E(x^4)，x為常態分佈怎麼算

[keyesleo (以前曾經很帥)]

想問E(x^4)，x為常態分佈怎麼算
E為取期望值的意思

有沒有人可以指點我一些方向

謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.137.52.227 (臺灣)
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推 jacky7987   : 動差
我試過用動差了，但根本沒辦法化簡，因為常態分佈的積分是特殊函數
※ 編輯: keyesleo (223.137.52.227 臺灣), 05/06/2021 15:41:41
→ Pieteacher  : Stein lemme
推 Ciolos      : mgf可以做 直接積分應該會用到gamma
推 jacky7987   : 常態母函數可以算吧，就微四次就好了
→ Pieteacher  :  https://i.imgur.com/ex4YzrU.jpg
→ Pieteacher  : mgf 直接展開對係數也可以
→ yhliu       : 分部積分可把 E(X^4) 變成 E(X^2).
→ yhliu       : 以標準常態分布而言, φ(x) = e^(-x^2/2)/√(2π),
→ yhliu       : ∫x^4φ(x) = [-x^3φ(x)] + 3∫x^2φ(x)dx
→ yhliu       : ∴ E[X^4] = 3E[X^2]
→ yhliu       : 以一般常態分布而言,
→ yhliu       : E[X^4] = E[(X-μ)^4]+6μ^2E[(X-μ)^2]+μ^4 而
→ yhliu       : E[(X-μ)^4] = 3σ^2E[(X-μ)^2]
→ DIDIMIN     : MGF微四次
→ Pieteacher  :  https://i.imgur.com/sYWtaD5.jpg