[代數] a^3+b^3+c^3=d^3的正整數解

[DreamYeh (天使)]

已知a^2+b^2=c^2

且a^3+b^3+c^3=d^3

a,b,c,d都是正整數（a<b<c<d)，a,b互質

求a,b,c是否有（3,4,5）以外正整數解?

若有，是否有通式？
若沒有，請證明沒有。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.82.146.188 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1620450323.A.23B.html
→ RicciCurvatu: 這種問題可能要先問你程度 看起來不是太簡單而且很
→ RicciCurvatu: 可能要有代數數論基礎
→ DreamYeh    : 會來這裡的多少有點程度吧XD..代數我還算略懂。      05/08 15:16

※ 編輯: DreamYeh (111.82.146.188 臺灣), 05/08/2021 15:24:45
※ 編輯: DreamYeh (111.82.146.188 臺灣), 05/08/2021 15:41:36
推 MisatoMitumi: 我覺得是有限多解。兩條方程式各在P_Q^3中定下一個
→ MisatoMitumi: 曲面，相交後的曲線是一個complete intersection。
→ MisatoMitumi: 所以可以計算genus為2。由Falting's theorem可以知
→ MisatoMitumi: 道是有限多解
→ MisatoMitumi:                    4
推 Sfly        : 有無窮多解，比如 1^3+6^3+8^3=9^3
→ Sfly        : 1^3+71^3+138^3=144^3
→ stimim      : 題目應該是 a^2+b^2=c^2 且 a^3+b^3+c^3=d^3 吧
→ DreamYeh    : 對 為避免誤會改一下標題
→ DreamYeh    : to Sfly : 抱歉標題沒寫清楚 要同時符合a^2+b^2=c^2
→ willydp     : 二個方程都齊次，3, 4, 5, 6全部乘一個整數也是解
→ willydp     : 阿抱歉，沒看到互質的條件
推 harrybbs    : 猜想：除345沒有其他整數解
→ harrybbs    : 證明這邊空白太小寫不下
推 giraffe1021 : 同問題Math SE也有人討論，但看起來也沒什麼結果
→ giraffe1021 : https://tinyurl.com/4jj7bv5a