Re: [分析] 一個高微與圖形的問題

[willydp (willeliu)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 我想要證明(或找到反例)以下敘述：
: Let D = {(x,y)│x^2+y^2<=1} , S = {(x,y)│x^2+y^2=1}
: and A,B be disjoint compact subsets of D with A∩S = {(0,1)}, B∩S = {(0,-1)}
: Show that every point P in left arc is path-connected in D
:        to every point Q in right arc without passing through A∪B.
: (that is, there exists continuous f：[0,1]→ D\(A∪B) with f(0)=P, f(1)=Q )
: <note>
: "left arc"  means {(cosx,sinx)│ 0.5pi<x<1.5pi}
: "right arc" means {(cosx,sinx)│-0.5pi<x<0.5pi}
: ----------------------------------------------------------------------------

以上為2016年板友問的一個問題，該題已獲解。

昨天在MO上看到一個相關的題目，但是顯然更困難，目前還沒有解答：

https://mathoverflow.net/questions/392837/

問題如下:

考慮[0,1]^2的一個子集合S (沒有任何拓樸條件的子集合), 滿足以下條件:
 對於任何[0,1]^2連通子集T, 假設T對x軸的projection為surjective, 那麼S與T相交

問：是否存在S的connected component, 其對y軸的projection是否必定為surjective?


這個問題與原先的問題的關係是，假設S是open或者closed的話，
幾乎可以用相同的方法(三角化、離散化)證明。
但難處是S沒有很好的拓樸條件，
S與他的補集甚至不一定是locally connected，甚至兩者都可以是[0,1]^2中的稠密子集

想造反例似乎也沒那麼簡單。

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已經有人找到反例了。


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※ 編輯: willydp (93.218.74.183 德國), 05/16/2021 19:23:06
推 RicciCurvatu: 如果對S 對y不是Sur 那找出一點a 不在proj image, T
→ RicciCurvatu: ={y=a} 就是反例了
問題是S是否有connected component對y軸為surjective，而非S是否對y軸surjective
※ 編輯: willydp (93.218.74.183 德國), 05/16/2021 21:02:48
推 RicciCurvatu: 鵝.... y=a 不就分成上下兩個open set了？
我猜你想用反證法證明問題敘述，而非舉反例
但是你一開始就假設S對y軸不surjective，這個假設太強
若要以反證法證明該敘述為真，只能假設S沒有connected component對y軸surjective
※ 編輯: willydp (93.218.74.183 德國), 05/16/2021 21:17:26
推 RicciCurvatu: 喔 我懂你意思了
※ 編輯: willydp (93.218.74.183 德國), 05/16/2021 21:21:45
※ 編輯: willydp (93.218.83.182 德國), 05/24/2021 16:20:02