[幾何] 請問一題國中幾何

[jenshi (小旭)]

請問大家一題
藍色的部份是河流
要在河流上蓋一座南北走向的橋
可以從A點經過橋再到B點的距離最近
不知道橋要怎麼蓋

https://imgur.com/a/E7h27ic

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.30.169.195 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1622849983.A.2F5.html
推 emptie      : https://i.imgur.com/Ooi6870.jpg
→ emptie      : 橘色是橋，x:y=a:b 的時候距離最短
→ jenshi      : 謝謝老師，請問是因為相似嗎？
→ jenshi      : 是否有辦法實際作圖，目前只有教邊角關係，沒教相似
推 kosoj6      : 因為橋只能蓋南北走向 所以過橋這段不影響路程
→ kosoj6      : 你想像把河壓縮成一條直線 AB走直線距離 經過河的點
→ kosoj6      : 就是蓋橋處 https://imgur.com/hz6Dw7b
→ kilva       : https://i.imgur.com/II8yIJ6.jpg
推 LPH66       : 這樣講比較清楚: https://i.imgur.com/Z18LACx.png
→ LPH66       : 把上圖橘線上移接到 X 點那裡就是六七樓說的"壓縮"
→ LPH66       : 因為平行四邊形, 原題最小化的路線就能扣去橋
→ LPH66       : (啊搞錯了, 上兩樓要講紅線...)
→ LPH66       : 然後就照七樓那樣拉直線即可
→ LPH66       : 那拉直線得到的邊長比例是相似沒錯, 很容易找得到
→ LPH66       : 但計算總長度跟尋找位置並不需要相似
→ theoculus   : https://reurl.cc/5r220V
→ theoculus   : 上面作廢   這個才對  https://reurl.cc/eEm6vW
→ rax921930   : 有個問題想問 此解是預設橋很貴要蓋直線
→ rax921930   : 如果橋的成本是修路成本1.5倍 要怎麼解?
→ mantour     : rax大的問題答案應該是這樣
→ mantour     : https://i.imgur.com/XglCBWm.png
→ mantour     : 其實就是幾何光學的最短時間原理，不過我不知道怎
→ mantour     : 麼嚴謹的不用微積分證明
推 Vulpix      : 這個就畫輔助線然後比大小。
→ mantour     : 證明可能不是很嚴謹，見諒
→ mantour     : https://i.imgur.com/RMUoQwq.png
→ musicbox810 : f'(0)通分後很複雜耶，怎麼化成這種結果?
→ rax921930   : 謝謝
→ musicbox810 : 而且為何動P'，Q且不動?不太懂
推 MisatoMitumi: 可以套用原題的想法，平移一個河寬上去，就可以只動
→ MisatoMitumi: 一點。要避免複雜的微分有Lagrange multipliers可以
→ MisatoMitumi: 用。不過結論來說就是Snell's Law
→ mantour     : f'(0)不用通分, 分母cos^2 + sin^2 = 1
→ mantour     : 假設P, Q 已是最小值出現的位置, 則不管P動或Q動
→ mantour     : 都要是最小.
→ mantour     : 也可假設兩個同時動, 令PP'=x, QQ'=y
→ mantour     : 總長為f(x,y), 對x,y的偏導數fx(0,0)和fy(0,0)都為
→ mantour     : 0, 實際計算過程其實跟一次只動一個點令一個變數代
→ mantour     : 入0, 是一樣的
→ mantour     : ^ 另一個變數代0