[線代] T為W的垂直投影則I-T在W^perp也是

[znmkhxrw (QQ)]

想請問一下Friedberg書中的習題：
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Let W be a finite-dimensional subspace of an inner product space V.
Show that if T is the orthogonal projection on W,
          then I-T is the orthogonal projection on W^perp
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我這邊完全採用Friedberg的定義下去做, 結果證明的過程不需要dim(W)<infinity

但是以我看這本書的經驗, 他幾乎沒有過給多餘條件的情況...所以才懷疑我證錯

下面我會給他的定義以及我的證明, 再請各位板友幫忙, 謝謝！


P.S. 我猜測他給dim(W)<infinity是為了垂直投影的存在性

     但是就他題目敘述的邏輯, 他存在性已經用假設的了, 那就根本不需要對W做假設


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【定義】(R(T)是Range of T, N(T)是Null space of T)

Let V be an inner product space over F = R or C

Then (1) we say a linear transformation T: V→V is a projection

         if there exists subspaces W_1, W_2 s.t. V=W_1⊕W_2 and

            for any x = x_1 + x_2 with x_1€W_1 and x_2€W_2,

            we have T(x) = x_1

         Moreover, we say T is a projection on W_1

     (2) we say a projection T: V→V is an orthogonal projection

         if R(T)^perp = N(T) and N(T)^perp = R(T)

【性質】(用不到這個, 只是wiki跟書上都說是等價的也好證所以列一下)

Let V be an inner product space over F = R or C

and T: V→V be a linear transformation

Then T is a projection <=> T^2 = T


！！注意到以上這些完全不用對V跟W做任何維度假設！！


【想證】

Let V be an inner product space over F = R or C

and W be a subspace of V (不需要finite-dimensional)

if T is the orthogonal projection on W

then I-T is the orthogonal projection on W^perp


pf: Since T is the orthogonal projection on W,

    we have (1) V = W⊕W_2 and for any x with x = x_1 + x_2, x_1€W, x_2€W_2

                we have T(x) = x_1

            (2) R(T)^perp = N(T) and N(T)^perp = R(T)

            (3) From (1), (2) we have R(T) = W, N(T) = W_2

                and W^perp = W_2 and W_2^perp = W

                (其實這裡就能證出一個性質：(W^perp)^perp = W, 不過這裡用不到)

    Now consider U := I-T

    Then (a) U(x) = (I-T)(x) = x - x_1 = x_2€W_2

         (b) R(U) = {(I-T)(x)} = {x-x_1} = {x_2} = W_2

         (c) N(U) = {x│U(x)=0} = {x│x_2 = 0} = W

         (d) R(U)^perp = W_2^perp = W = N(U)

         (e) N(U)^perp = W^perp = W_2 = R(U)

    Hence from (a)~(e), we know U is an orthogonal projection on W^perp, 證畢

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.132.77 (臺灣)
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※ 編輯: znmkhxrw (123.110.132.77 臺灣), 06/18/2021 19:06:18
→ Bohr        : 你的 (d) 用到取兩次垂直補集變自己   所以需要 W
→ Bohr        : 是 closed 的
→ Bohr        : 如果 W 是有限維   這自動會成立
→ Bohr        : 所以至少可以把條件放鬆成 W 是 closed 的
→ Bohr        : 但我也不確定 closed 是不是最 sharp 的條件
→ Bohr        : 不知道存不存在不是 closed 但存在 orthogonal
→ Bohr        : projection  投影至其上的子空間
就是(d)不需要耶, 因為T是orthpgonal projection, 所以我們已經有W^perp = W_2 and
W_2^perp = W, 不用用到雙補集就是自己

反而還可以推出雙補集就是自己
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.248.158 臺灣), 06/18/2021 20:47:57
推 jacky7987   : 你Range是close subspace 但你的W不是阿，他不會一
→ jacky7987   : 樣
推 jacky7987   : 阿基本上你要討論perp的時候就要考慮V是Hilbert
你意思是若T是orthogonal projection on W, 不一定會有W=R(T) ??
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.248.158 臺灣), 06/18/2021 21:04:23
→ Bohr        : 因為你推出雙補集是自己   所以W一定是closed的
→ Bohr        : 任何子集的垂直補集都是 closed 的
→ Bohr        : 所以當你從題目的條件推得 W 的雙補集是自己
→ Bohr        : 就告訴你說   只有閉集可以滿足題目的條件
你這四句話我都認同, 可是跟原題好像不太一樣, 我是要問
"在只有假設W只是子空間的情況下, 若T是W上的垂直投影, 是否能推得I-T是在W^perp上
的垂直投影"

我的論證是可以的, 並且還可以推導出(W^perp)^perp=W

但是有鑑於閱讀這本書的經驗, 他都不會多給多餘的條件, 所以才問問看是否真的不用對
W做假設, either finite dimension or closed
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.248.158 臺灣), 06/18/2021 21:15:24
推 jacky7987   : V=l^2, W考慮有限位子非0 大概都是這個反例（顯示為
→ jacky7987   : 沒算
→ Bohr        : 所以題目就算把W放的多鬆也沒差  因為滿足正交投影
對對對, 我就是證明這個結論才會覺得W的假設根本不需要, 也才猜說書只是為了正交投
影的存在性

但是今天他的敘事邏輯是把存在性做假設了, 那自然不需要對W做假設

→ Bohr        : 條件的集合一定是 closed 的
→ jacky7987   : 但我猜R(P_W)應該是0
→ Bohr        : 樓上  你的V不會有正交投影
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.248.158 臺灣), 06/18/2021 21:17:58
推 jacky7987   : 哦哦那T存在就強迫W是closed這件事情沒錯
→ jacky7987   : 我原本以為你可以允許W包含於R(P)
我就是想到有廣義定義的可能性才把我討論的字彙的定義都打出來 所以確實在這樣的定
義下根本不需要對W做限制就有

"若T是W上的垂直投影
則I-T是在W^perp上的垂直投影"

了吧!?
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.248.158 臺灣), 06/18/2021 21:28:03
→ Bohr        : 對   因為你這裡的垂直投影這個條件很強  基本上一
→ Bohr        : 寫出來就直接說明了
了解~所以在friedberg的敘述邏輯下他對於dim(W)的假設是多餘的沒錯 謝啦!
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.248.158 臺灣), 06/18/2021 21:43:13
推 alan23273850: 看要不要寄信給作者啊？嘿嘿
真懷念 "欸乾 我怎麼沒用到條件" 已經是學生時代了QQ

06/19 10:18
推 THEJOY      : 我認為作者是希望讀者練習操作W的基底來計算W^perp
可是完全不需要知道W^perp長相 XDDD
※ 編輯: znmkhxrw (42.73.206.52 臺灣), 06/20/2021 03:52:00