※ 引述《AdonisLam (Adonis)》之銘言：
: 題目如圖
: 求推倒過程
: 感謝!
: https://i.imgur.com/Y2ASkKJ.png
令 1. N 為小孩總數, 由題目知 N ~ (mean=3, variance=2)
iid
2. Yi 為第i個小孩所生的孫子人數, 由題目知 Yi ~ (mean=3, variance=2)
N
=> M = Σ Yi
i=0
N
E(M) = E(ΣYi)
i=0
n ∞ n
= E[E(ΣYi|N=n)] = Σ E(ΣYi|N=n) P(N=n)
i=0 n=0 i=0
∞
= Σ 3n * P(N=n) = E[3N]
n=0
= 9 #
E(M^2) = E{E[(ΣYi)^2|N=n]}
∞ n n
= Σ {Var(ΣYi) + [E(ΣYi)]^2} P(N=n)
n=0 i=0 i=0
= Σ {2n + 9n^2} P(N=n)
= 2* E(N) + 9* E(N^2)
= 6 + 9*(2+9)
= 105
Var(M) = E(M^2) - [E(M)]^2
= 105 - 81
= 24 #
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