Re: [中學] 取球數期望值

[arrenwu (不是綿芽的錯)]

※ 引述《Refauth (山丘上的長號手)》之銘言：
: ※ 引述《takeyourtime (鐘點戰)》之銘言：
: : 袋中3紅、7白球
: : 一次取一個不放回
: : 問：
: : （1）取得第一個紅球，球數期望值___
: : （2）取得第二個紅球，球數期望值___
: :   （3）紅球取完的球數期望值___
: : 11/4，11/2，33/4
: : 請前輩們指點
: 半夜想這題睡不著...QQ  看到第一題我直接想到一個奇怪的東西....
: 3/10 x 1 +
: 7/10 x 3/9 x 2 +
: 7/10 x 6/9 x 3/8 x 3 +
: 7/10 x 6/9 x 5/8 x 3/7 x 4 +
: 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 5 +
: 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 3/5 x 6 +
: 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 3/4 x 7 +
: 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 8 +
: 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 2/2 x 0 +
: 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 2/2 x 1/1 x 0
: =？
: ......這算完我就自爆了這什麼東西？
如果我們定義 X 為問題 (1)中的取得第一個紅球所需要的球數
                   8
你等於是用 E[X] = Σ Pr(X=x) * x  在計算期望值。
                  x=1

Pr(R=x) = (10-x)(9-x)/240 ，所以你其實算得出closed-form solution
只是過程應該不是很舒服

不過呢，這題目問的是期望值，所以可以用 Linearity of Expectation 來處理
也就是：給定隨機變數 X,Y,Z，如果 Z = X + Y 則 E[Z] = E[X] + E[Y]
(但這高中有教嗎？)

原本那篇推文下面有個滿heuristic的作法，看起來是很不賴。
但這種heuristic的作法，有一定風險。
因為每個人都會有屬於自己的直覺，但直覺並不總是對的。
這也是為什麼我覺得在我當機率助教，學生所問的古典機率問題裡面，
最難回答的就是「為什麼我這樣算會算錯？」
其實問題通常是沒有明確定義問題中的隨機變數。
這個定義不明確的時候，大家的溝通也會變得比較困難

所以我們用一個比較沒爭議的寫法
首先我把白球和紅球各自打上編號：
        白球是 w_1,w_2, ... w_7
        紅球是 r_1,r_2,r_3

然後我接著定義四個隨機變數 Z0,Z1,Z2,Z3 分別為
        Z0 = 第一個紅球前的白球數量
        Z1 = 第一和第二個紅球之間的白球數量
        Z2 = 第二和第三個紅球之間的白球數量
        Z3 = 第三個紅球之後的白球數量

問題(1) 則是在問 E[Z0+1]

好，定義完要怎麼算呢？
是這樣的，如果我們定義隨機變數 I(0,j) =  1 , 如果 w_j 出現在第一顆紅球前面
                                         0 , 其他

那麼可得到 Z0 = I(0,1) + I(0,2) + .... + I(0,7)
                 7
              = Σ I(0,j)
                j=1

              7
所以 E[Z0] = Σ  E[I(0,j)]   by linearity of expectation
             j=1
              7
           = Σ  Pr(w_j 出現在第一顆紅球前面)
             j=1

讓我們先考慮: Pr(w_1 出現在第一顆紅球前面) = Pr(w_1 出現在 r_1, r_2, r_3 前面)

在這10個球總共10!種排列方式中，
我們可以用 w_1, r_1, r_2, r_3 這四顆球的相對順序去區分他們。
這每一個相對順序包含的排列方式數量會是一樣多的

比如：滿足 (w_1, r_1, r_2, r_3) 相對順序的排列數量，
      跟滿足 (r_1, w_1, r_2, r_3)相對順序的排列數量是一樣的

為什麼呢？ 因為任一個滿足 (w_1, r_1, r_2, r_3)相對順序的排列，
你把其中的 w_1 跟 r_1 位置交換，就會是滿足 (r_1, w_1, r_2, r_3) 。
而且這是一個 one-to-one and onto 的關係


我講了半天，想講的就是 10 顆球裡面 w_1出現在 r_1 r_2 r_3 前面的機率，
跟只有 w_1, r_1 , r_2 ,r_3 四顆球時 w_1出現在 r_1 r_2 r_3 前面的機率是一樣的

所以 Pr(w_1 出現在 r_1, r_2, r_3 前面) = 3!/4! = 1/4

因此 E[I(0,1)] = Pr(w_1 出現在 r_1, r_2, r_3 前面) = 1/4
然後你們很聰明，一定自己看/算得出 E[I(0,j)] = 1/4

這樣我們就能得到 E[Z0] = 7*1/4 = 7/4
而問題(1)問的是 E[Z0+1] = E[Z0] + 1 = 11/4

好，那問題(2)呢？

其實問題(2)問的就是 E[Z0 + 1 + Z1 + 1] = E[Z0] + E[Z1] + 2
E[Z0] = 11/4 我們已經算出來了

E[Z1] 呢？ 我又要故技重施了

        定義隨機變數 I(1,j) =  1 , 如果 w_j 出現在第一顆和第二顆紅球之間
                               0 , 其他情況
                   7
然後就又有 E[Z1] = Σ E[I(1,j)]
                   j=1
                    7
                 = Σ Pr(w_j 出現在第一顆和第二顆紅球之間)
                   j=1

大家都很聰明，多半看得出我們知需要算 Pr(w_1 出現在第一顆和第二顆紅球之間)
而且就同上面推論，會得到我們只需要看 只有 w_1, r_1, r_2, r_3 四顆球的時候，
w_1 在第一顆紅球和第二顆紅球之間的機率，然後又很明顯地就是 1/4

所以 E[Z1] = 7/4 ，故問題(2)的答案是 7/4+7/4+2 = 11/2


其實現在大家應該看得出來，E[Z0] = E[Z1] = E[Z2] = E[Z3] = 7/4
當然我想很多人一定可以有各種靈感得出這結論。
我只是提供一個我覺得比較清晰的呈現方式


不過呢，有時候問題想不出來，需要點靈感。
這種時候，我滿推薦看角卷綿芽的直播

然後呢，我跟你說喔，角卷綿芽今天晚上九點會開100萬訂閱耐久歌台喔！
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推 frekfrek    : 懂了 感謝
推 emptie      : 這個偷渡 防不勝防
推 Refauth     : 這篇文章有點過頭認真了 其實直覺並不是壞事
→ Refauth     : 我個人覺得直覺是建立在過去的過人經驗上面
我完全沒有要否定直覺的意思，畢竟直覺是引導我們解決問題的指標。
但直覺並不總是正確的。

處理機率問題，許多人都會有自己的巧思。
而如果沒有證明過程，要怎麼知道自己寫的是對的？
比如我們怎麼知道問題(1)是 11/4？

其實我相信 Pr(w_1 出現在 r_1, r_2, r_3 前面) 這個大家滿容易直接寫出 1/4。
畢竟「其他球不影響這事件」相當的接近大家的想像

但 E[Z0] 那段就沒那麼trivial了
→ Refauth     : 當老師出了一題不在學生個人經驗範圍的題目就好玩了
→ Refauth     : 例如國中理化的浮力、高中物理的功能轉換
→ Refauth     : 就是那種超過個人經驗的考題，純粹的幻想
→ Refauth     : 通常人遇到自然界沒辦法"體驗"的事物 會恐懼或戰鬥
這個是另外一個對於抽象分析方法的內化過程。
不過這也是為什麼數學很重要。因為只有數學能描述這些現象

這讓我想起加利略說的「數學是神寫下這宇宙所使用的語言」
→ Refauth     : 這時候再從旁邊打擊學生的信心 那這個學生就毀掉了
→ Refauth     : 不過我絕對不會承認我是這種老師
※ 編輯: arrenwu (98.45.135.233 美國), 07/17/2021 16:15:36
推 Refauth     : 我認為數學是工具，但是語言也是工具，兩個工具之間
→ Refauth     : 相互解釋的過程對學生很重要
→ Refauth     : 國小學生面對應用問題就是培養語言與數學之間的切換
→ Refauth     : 把語言轉換成數學 或 把數學轉換成語言，這才是困難
→ Refauth     : 很多人都是只懂一項，才會造成學術與普羅大間的隔閡
→ Refauth     : 可能這也是上帝對人類設下的一種禁制XD
→ Refauth     : 巴別塔真的是一個好神話
推 LPH66       : 來補充一題類題 #1UQC7ZE1
→ LPH66       : 我在那篇寫的基本上就是這篇的做法, 寫的很簡單而已
→ LPH66       : 中間的對應我沒詳證只有帶過, 那是這篇的重點之一
推 Refauth     : 雖然我還是看不懂就是了XD