Re: [中學] 一題期望值問題

[arrenwu (不是綿芽的錯)]

※ 引述《yizihappyQ (Ms.Q)》之銘言：
: https://i.imgur.com/J4qD0k0.jpg
: 請問這題的期望值如果要用列式的話要怎麼計算呢？謝謝

松鼠總數量為n，其中m隻被標記。

那麼 Pr(捕獲c隻裡面有i隻標記) = C(m,i)C(n-m,c-i)/C(n,c)  , i<= min(m,c)
                                0                        , otherwise


所以期望值會是

k = min(m,c)
  Σ  C(m,i) * C(n-m,c-i) / C(n,c) * i
 i=0


然後要算出這個你需要一個結論：
For all m<=n and c<=n,

        k = min(m,c)
          Σ  C(m,i) * C(n-m,c-i)  = C(n,c)
         i=0

這個你可以從多項式 (1+x)^n 來看

(1+x)^n = (1+x)^m (1+x)^(n-m)

左邊多項式的 c次項係數為 C(n,m)
                            k = min(m,c)
右邊多項式的 c次項係數則是     Σ  C(m,i) * C(n-m,c-i)  = C(n,m)
                               i=0

好了，讓我們回到原來問題


k = min(m,c)
  Σ  C(m,i) * C(n-m,c-i) / C(n,c) * i
 i=0
             k
 = m/C(n,c) Σ  C(m-1,i-1) * C(n-m,c-i)
            i=1

令 j = i-1,
          k
m/C(n,c) Σ  C(m-1,i-1) * C(n-m,c-i)
         i=1
           k-1
= m/C(n,c) Σ  C(m-1, j) * C(n-m,c-1-j)
           j=0

= m/C(n,c) * C(n-1, c-1)     (因為 m-1 <= n-1, c-1<= n-1, k-1 = min(c-1,m-1),
                              所以可以引用上面那個結論)

= m/n *c

= p *c

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異端分子請不要再說了
https://i.imgur.com/KhOj7Xe.jpg
https://i.imgur.com/AGyPCch.jpg

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※ 編輯: arrenwu (98.45.135.233 美國), 07/17/2021 15:06:55
推 yizihappyQ  : 謝謝！！