推 Refauth : 靠你還真的算出答案來啊！真是認真！看來我那招OK？ 07/18 00:00
→ Refauth : 我還以為我對於期望值的想法完全是錯誤的XDDD 07/18 00:00
※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言：
: ※ 引述《Refauth (山丘上的長號手)》之銘言：
: : 半夜想這題睡不著...QQ 看到第一題我直接想到一個奇怪的東西....
: : 3/10 x 1 +
: : 7/10 x 3/9 x 2 +
: : 7/10 x 6/9 x 3/8 x 3 +
: : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 3/7 x 4 +
: : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 5 +
: : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 3/5 x 6 +
: : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 3/4 x 7 +
: : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 8 +
: : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 2/2 x 0 +
: : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 2/2 x 1/1 x 0
: : =？
原文推文我有寫到，這個倒著算就好。
我們對這類四則運算的做法，一直都很類似綜合除法。
: : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 3/4 x 7 +
: : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 8
這兩排算式，前面有一堆相同項，所以就先提出來之後剩下 21/4 + 8/4 = 29/4。
再乘以 2/5，然後加上 18/5 + 5，得到 65/10 + 5 = 23/2。
再乘以 4/7 * 3/6，然後加上 12/7，得到 35/7 = 5。
再乘以 5/8，然後加上 9/8，得到 34/8 = 17/4。
再乘以 6/9，然後加上 6/9，得到 21/6 = 7/2。
再乘以 7/10，然後加上 3/10，得到 55/20 = 11/4。
如果列出來是那樣，那這就是最有效率的計算方式。
: : ......這算完我就自爆了這什麼東西？
: 如果我們定義 X 為問題 (1)中的取得第一個紅球所需要的球數
: 8
: 你等於是用 E[X] = Σ Pr(X=x) * x 再計算期望值。
: x=1
: Pr(X=x) = (10-x)(9-x)/240 ，所以你其實算得出closed-form solution
: 只是過程應該不是很舒服
也沒有那麼不舒服XD
E[X] = Σ_{x=1}^8 (10-x)(9-x)/240 * [8-(8-x)]
= Σ_{x=1}^8 (10-x)(9-x)/30 - (10-x)(9-x)(8-x)/240
= Σ_{x=1}^8 C(10-x,2)/15 - C(10-x,3)/40
= [ C(2,2)+C(3,2)+...+C(9,2) ]/15 - [ C(3,3)+C(4,3)+...+C(9,3) ]/40
= C(10,3)/15 - C(10,4)/40
= 8 - 21/4
= 11/4
多項式的 sum 通常應該換成 C 來算，而不是用高中背的 Σk^2 那一類。
: 不過呢，這題目問的是期望值，所以可以用 Linearity of Expectation 來處理
: 也就是：給定隨機變數 X,Y,Z，如果 Z = X + Y 則 E[Z] = E[X] + E[Y]
: (但這高中有教嗎？)
好像有點尷尬，因為有些性質不用這個會累死。
常見的題型有甲乙丙三人打靶命中率各為 p, q, r，且各人表現不影響彼此的準度，
然後問三人對同一靶各射擊一發後靶臺報靶的期望值。
甚至有時還要算標準差/變異數，那更瘋狂了XD
但是有這個性質就可以安心許多。
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