Re: [其他] 逆運算求特解

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《Yic0197 (科科科55)》之銘言：
: 用逆運算子和答案少一項？
: 其他方法和解答一樣
: 想知道是因為在用逆運算子的時候不能分子分母對消？還是其他原因 謝謝
: https://i.imgur.com/Xwbm1s9.jpg

那條式子是這樣來的：

L(D)(xf) = xL(D)f + L'(D)f

然後把 f 用 L(D)\V 換掉，變成

L(D)(x[L(D)\V]) = xV + L'(D)[L(D)\V]

最後再整條式子都用 L(D) 左除

x[L(D)\V] = L(D)\(xV) + L(D)\L'(D)[L(D)\V]

移項完才得到

L(D)\(xV) = x[L(D)\V] - L(D)\L'(D)[L(D)\V]


一般情況下，因為 分母的 L(D) 與分子的 L'(D) 是可交換的，

所以我們並不在意順序，將最後一項寫作 L(D)^2\L'(D)V。

但這個寫法現在顯然有問題，因為此刻 L'(D)V = 0。

那我們大概也不能隨便亂約分了？這個問題晚點說明。

逆運算子法在某程度上是有點亂來的計算方式，所以有些規則會更嚴格。

例如運算的順序。

   L(D)\L'(D)[L(D)\e^x]

=  L(D)\L'(D)(x^2*e^x)/6

=  L(D)\[(2x+1)e^x]

=  2L(D)\(xe^x) + (x^2*e^x)/2

=  2L(D)\(xV) + (x^2*e^x)/2

代回 L(D)\(xV) = x[L(D)\V] - L(D)\L'(D)[L(D)\V]

得到 L(D)\(xV) = (x^3*e^x)/6 - ( 2L(D)\(xV) + (x^2*e^x)/6 )

所以 (D^3-3D+2)\(xe^x) = (x^3*e^x)/18 - (x^2*e^x)/18


一般來說，這時候大概會抗議：

「可是V先積分再微分會變回V，這是微積分基本定理誒！為什麼不能約分啊？」

所以可以約分，但可以約分不代表可以交換。

被約掉的 D-1 在 L(D)\L'(D)[L(D)\e^x] 裡面藍色的那邊。

所以在 D+1 運算上去之前，一定要先運算一次 (D-1)^-1。

這已經是最低限度的妥協了。

在函數空間的其他地方，交換性通常都沒有問題，

但一扯到 多項式*e^x，那 (D-1)^-1 的順序就不能亂放了。


為了發新文章才發現即使有小心順序也還是不行。

最大的問題在於操作三次同一個逆運算，這已經超過原本容許範圍了。

多的那一次會造成一項係數待定項。

（如果多兩次就會有兩項，以此類推。）


另外，這題除了部份分式的做法，也比較適合這樣做：

(D-1)^2\[(D+2)\xe^x]

黃色部份可以直接用你喜歡的這條公式。

後面的計算也只是逆運算子的基本公式。

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→ wohtp       : 逆運算子是什麼時候流行起來的啊？我學微積分的時候
→ wohtp       : 都沒有在教。
→ wohtp       : 我也不相信現在教的時候會把定義域的問題說清楚，這
→ wohtp       : 樣不會教壞小孩嗎...？
→ Vulpix      : 我覺得會教壞小孩XDDD
→ Vulpix      : 好像主要是流行在那些考研究所的補習班內。
→ Vulpix      : 逆運算子在找特解的速度上常常會比積分快，特別是那
→ Vulpix      : 一堆煩死人的分部積分。那些升學取向的補習班一定不
→ Vulpix      : 會把定義域的問題說清楚，這毋庸置疑。
→ Vulpix      : 話說，你不會覺得親切嗎？(-p^2+ω^2)\ψ什麼的。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 08/18/2021 20:30:05