Re: [代數] 藉由最大最小值求題目所需之值

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《kiplove114 (wei)》之銘言：
: https://imgur.com/83vqIgZ
: 如圖所敘述之題目
: 答案為C
: 不太知道該如何下手?
: 求解感謝

來個邪門歪道的解法。

首先 a 不可能是 0，b/(x^2+1) 要同時有最大值和最小值的話，b 只能是 0。

x^2 + 1 = (x + b/2a)^2 - (b/a)(x + b/2a) + b^2/4a^2 + 1

所以在 x≠-b/2a 的時候，

原式 = 2a/[ (x + b/2a) + (b^2/4a^2 + 1)/(x + b/2a) - b/a ]

由算幾不等式知道最大值、最小值是這兩者之一：

2a/(√(b^2/a^2 + 4) - b/a) 和 2a/(-√(b^2/a^2 + 4) - b/a)

也就是

( a√(b^2/a^2 + 4) + b )/2 和 ( -a√(b^2/a^2 + 4) + b )/2

兩數的和 b = 4 + (-1) = 3

兩數的積 -a^2 = -4

這樣也可以得到 a^2 + b = 7。


算幾不等式這招……

其實多數時候沒有判別式好用，但也有時候算幾算起來數字比較簡單的，

雖然要經過很刻意的設計。

一般是判別式由於係數過大導致因式分解困難度高的時候。

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再來一個比較正門歪道的。

因為最小值是 -1，所以 (2ax+b)/(x^2+1) + 1 的最小值是 0。

也就是 [(x+a)^2 + b+1-a^2]/(x^2+1) 的最小值是 0。

所以 b+1-a^2 一定是 0，畢竟這數字跟最小值同號。

然後我們也知道了 |x+a|/√(x^2+1) 的最大值是 √5。

(x.0) 與 (-a,0) 的距離是 (x,0) 與 (0,1) 的距離的 √5 倍。

為了方便，標一下點：A(-a,0)、B(x,0)、C(0,1)

所以不等式是 AB/BC≦√5。

左式用正弦定理換成 sinC/sinA 顯然最大值是 1/sinA，所以他是 √5。

這樣 a^2 + 1 = 5，所以 a^2 = 4，b = a^2 - 1 = 3 就順便算出來了。


正弦定理解這類問題好用的時候是在分子或分母有一項是完全平方的時候，

如果已經有完全平方還特地展開算判別式是很多此一舉的。

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→ christine217: 其實不用這麼麻煩
→ christine217: 直接令所給的函數值為t，同乘以分母之後移項形成
→ christine217: 二次方程式之後，因為是在比大小，所以x定義域必在
→ christine217: 實數域，因此這個二次方程式必有實數解<
→ christine217: 最後再利用二次方程式的判別式要大於等於零，得到t
→ christine217: 的範圍，最後去比對題目給定的範圍<
→ christine217: 就可以得到a跟b的值了。