[線代] 可逆充要條件的問題

[vhunter (SPC)]

https://i.imgur.com/QKdpYyz.jpg



各位大大，我卡在第三個（3）等價描述了
雖然隔壁頁有證明
但是總感覺可以找到反例
我的邏輯是如果有解的情況是無限多解
那它的r(A)<n不就和其他等價敘述中唯一解時r(A)=n矛盾了嗎？
而且r(A)<n時A無法列運算至單位矩陣
麻煩各位大大了，謝謝

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※ 編輯: vhunter (101.9.192.203 臺灣), 09/04/2021 16:36:11
→ mantour     : 若r(A)<n，則存在b使得Ax=b無解，所以對所有b有解    09/04 16:38
→ mantour     : 的話，不可能是無限多解                            09/04 16:38

※ 編輯: vhunter (101.9.192.203 臺灣), 09/04/2021 16:40:22
→ mantour     : 如果有一個b的解是無限多解，就會有其他b是無解
→ vhunter     : 喔喔喔，好像有感覺，懂了，謝謝你
→ judgment    : 因為它是要∀b都要有解：若在給b_1有無窮多解時，
→ judgment    : 就會rank(A|b_1)=rank(A)<n，你再換某個b_2就會發
→ judgment    : 生rank(A|b_2) =\=rank(A)而無解
→ vhunter     : 對耶，還有rank(A|b_2) =rank(A)這一個條件要用，
→ vhunter     : 我剛剛自己找例子的時候也忽略了，感謝