Re: [機統] 求X^+和X^-累積分配函數

[LongboardDC (薰兒和她的長板)]

※ 引述《smellyhead (smellyheadN       )》之銘言：
: 各位好
: 已知X的分配函數(distribution function)是F, 如何求X^+和X^-的分配函數.
: 謝謝

X is a random variable with CDF F_X (x)
The positive part of X is defined by X^+ = max{0, X}
The negative part of X is defined by X^- = max{0, -X} = -min{0, X}


CDF of X^+ is given by
F_X^+ (x)
= Pr[X^+ ≦ x]
= Pr[max{0, X} ≦ x]
= Pr[0 ≦ x ∩ X ≦ x]
= Pr[0 ≦ x] ‧ Pr[X ≦ x]

= {0, for x < 0
   Pr[X ≦ x], for x ≧ 0

= {0, for x < 0
   F_X (x), for x ≧ 0


CDF of X^- is given by
F_X^- (x)
= Pr[X^- ≦ x]
= Pr[-min{0, X} ≦ x]
= Pr[min{0, X} ≧ -x]
= Pr[0 ≧ -x ∩ X ≧ -x]
= Pr[0 ≧ -x] ‧ Pr[X ≧ -x]

= {0, for x < 0
   Pr[X ≧ -x], for x ≧ 0

= {0, for x < 0
   1 - Pr[X < -x], for x ≧ 0

= {0, for x < 0
   1 - F_X (-x), for x ≧ 0

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.39.206.113 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1631138943.A.EEE.html
推 smellyhead  : 感謝你!!
推 smellyhead  : 我按你的方法求X^-, https://imgbox.com/qF9pPXzZ
→ smellyhead  : 方便幫我看一下嗎? 謝謝你!!
※ 編輯: LongboardDC (114.39.206.113 臺灣), 09/09/2021 20:29:25
→ LongboardDC : 補上X^-了, 再檢查看看
※ 編輯: LongboardDC (114.39.206.113 臺灣), 09/09/2021 20:36:50
推 smellyhead  : 感謝!!!!

你的最後一步Union出錯了
Pr[A∪B] = Pr[A] + Pr[B]- Pr[A∩B]


CDF of X^- is given by
F_X^- (x)
= Pr[X^- ≦ x]
= Pr[-min{0, X} ≦ x]
= Pr[min{0, X} ≧ -x] (我的下一步 = Pr[0 ≧ -x ∩ X ≧ -x]）
（這裡用你的方法繼續，也正確只是步驟變多）
= 1 - Pr[min(0, X) < -x]
= 1- Pr[0 < -x ∪ X < -x] （注意這裡是Union）

先處理綠色部分
Pr[0 < -x ∪ X < -x]
= Pr[0 < -x] + Pr[X < -x] - Pr[0 < -x ∩ X < -x]
= Pr[0 < -x] + Pr[X < -x] - Pr[0 < -x] ‧ Pr[X < -x]

for x < 0:
Pr[0 < -x] + Pr[X < -x] - Pr[0 < -x] ‧ Pr[X < -x]
= 1 + Pr[X < -x] - 1 ‧ Pr[X < -x]
= 1

for x ≧ 0:
Pr[0 < -x] + Pr[X < -x] - Pr[0 < -x] ‧ Pr[X < -x]
= 0 + Pr[X < -x] - 0 ‧ Pr[X < -x]
= Pr[X < -x]
= F_X (-x)


So, F_X^- (x)
= 1 - Pr[0 < -x ∪ X < -x]

= {1 - 1, for x < 0
   1 - F_X (-x), for x ≧ 0

= {0, for x < 0
   1 - F_X (-x), for x ≧ 0
※ 編輯: LongboardDC (111.242.31.44 臺灣), 09/10/2021 10:25:02
※ 編輯: LongboardDC (111.242.31.44 臺灣), 09/10/2021 10:26:07
※ 編輯: LongboardDC (111.242.31.44 臺灣), 09/10/2021 10:28:44
※ 編輯: LongboardDC (111.242.31.44 臺灣), 09/10/2021 10:29:17
※ 編輯: LongboardDC (111.242.31.44 臺灣), 09/10/2021 10:30:43
※ 編輯: LongboardDC (111.242.31.44 臺灣), 09/10/2021 10:41:58
※ 編輯: LongboardDC (111.242.31.44 臺灣), 09/10/2021 10:47:04
推 smellyhead  : 真的很感謝你這麼詳細的解釋，獲益良多！謝謝！