Re: [微積] 求一無窮交錯級數的上界或其收斂解

[cmrafsts (喵喵)]

※ 引述《caron0225 (淯仔)》之銘言：
: 大家好，小弟在處理一個工程問題時，遇到一個無窮交錯級數。
: 如下圖:
: https://imgur.com/Ulf6GWR
: 交錯級數審歛法可以容易確定該無窮級數會收斂。
: 實務上，我只需要找到盡可能小的上界，可能就夠用了~
: 假定該級數他收斂到某個L，那麼我可以利用|S_k-L|<a_k性質
: 很快得到一個上限，如下圖
: https://imgur.com/n3kQooz
: 也就是該無窮級數會被級數的首項bounded住
: 但是目前這個上限稍嫌太大，感覺可以再小。
: 根據實務上的經驗，還有無意間注意到這個級數的收斂值(如下圖)
: https://imgur.com/y8I373c
: 猜測該級數可能會被下圖bounded住
: https://imgur.com/WfPfapW
: 但是如果可以的話，希望在更小一點，如下圖...
: https://imgur.com/IUbs654
: 有沒有大大可以提點一下數學上的論證思路...
: 感謝大家看完我的問題!!
                                                          2
你的無窮級數在 t 趨近正無窮時的 dominating term 是 exp(-tπ) ，所以你要趨近0更
快的上界都不會成立。
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如果你把整個級數除掉 exp(-tπ) ，剩下的東西會在[0,∞]上定義一個正值連續函數，在
 0 的值是 π/4，在 ∞的值是 1 。至於他是不是遞增函數我不確定。

也許你不需要直接看這個級數，而是需要與它相關的級數? 例如它的逐項微分或是某些
積分變換的結果？

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能看到Ahlfors複變課本的這個世界真是美妙

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推 Poincare    : 學姐好
→ caron0225   : 感謝cmrafsts大大看完我的問題與建議
→ caron0225   : 有用電腦去計算級數的前1000000項，顯然都遠大於我
→ caron0225   : 猜的那兩個函數
→ caron0225   : 實務上我只需要夠小的上界即可，避免低估工況
→ caron0225   : 我想直接用電腦去計算有限項來當上界可能比較快...
→ caron0225   : 雖然說是期待該級數能收斂到哪個漂亮的公式啦...XD
他在 t --> 0 或正無窮的行為不一樣。我相信趨近正無窮時那個界已經夠小了，但是趨近
0 時就會有點麻煩。你應該可以在夠靠近時找一個你想要的指數，但是常數要大一點。這
不見得會比較好。該找怎麼樣的 bound 還是取決於你的實際問題。
※ 編輯: cmrafsts (180.214.191.72 臺灣), 09/16/2021 00:36:09