[其他] 如何證明有無窮個質數mod 3=2?

[ThePeaceMan (TPM)]

由於小弟覺得孿生質數蠻有趣的，
所以最近試著構造孿生質數，
但不知道前面的證明是否正確，
而且卡在如何證明有無窮個質數mod 3=2，
所以想和各位討論看看。

假設p_n代表前n項質數的積除以3，n>=2,
if p_n(mod 3)=1
則 p_n + 1(mod 3)=2
p_n + 3(mod 3)=1

在p_n(mod 3)=1的前提下，
若要確認p_n + 1,p_n +3是否為質數，
必須看兩數mod前n項質數是否皆不為0。
因p_n mod 前n項質數=0(除了 mod 3),
故p_n + 1 mod 前n項質數=1(除了 mod 3),
且p_n + 3 mod 前n項質數=3(除了 mod 2,3),
又兩數mod 3皆非0，p_n + 3(mod 2)=1，
故知兩數皆為質數。

接著討論是否有無窮個p_n符合mod 3=1。
因為p_n(mod 3)=各因數mod 3的乘積，
所以可看成許多1,2的乘積mod 3，
其中只有2的數量會影響mod 3的結果，
奇數個2相乘會mod 3=2,
偶數個2相乘會mod 3=1,
所以只要有無窮個質數mod 3=2，
就有無窮個p_n符合mod 3=1。

但現在卡在如何證明有無窮個質數mod 3=2，
想請教各位有什麼想法嗎？


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→ willydp     : https://zh.wikipedia.org/wiki/狄利克雷定理
推 Vulpix      : 你只看前n個質數不夠啊。2*5*7*11*13=10010，要檢查
→ Vulpix      : 的質因數還很多哩。
→ ThePeaceMan : 感謝V大指出盲點
→ Golven      : 不知在哪看到的：孿生質數必為(6n-1,6n+1)
→ ThePeaceMan : 回5樓 3,5似乎是反例?
→ ThePeaceMan : 應該說大於3質數皆屬於6n-1,6n+1的形式，不限於孿
→ ThePeaceMan : 生質數