Re: [機統] 一題期望值

[mantour (朱子)]

※ 引述《thumbg75446 (EDWIN)》之銘言：
: 有八個人圍成一圈考試
: 這八個人可以轉頭看與自己相鄰的其中一個人的答案
: 轉左邊或右邊是等機率的
: 每個人的轉頭也不會影響到別人轉哪個方向
: 那麼沒有被人看的人的個數期望值是多少？
: 想問這題要怎麼樣討論？
: 感謝大大

→ plyong95084 : 8*(1/2)^2=2 ?                                     09/24 22:31
推 LPH66       : 樓上正解, 每個人有 1/4 機率不被看                 09/24 23:28
那如果是這樣，有(1/4)^8沒有人被看嗎？
※ 編輯: thumbg75446 (114.25.46.44 臺灣), 09/24/2021 23:43:29
推 LPH66       : 這就不對了, 因為各個 1/4 不是獨立                 09/24 23:59
推 tuhunger    : 回原po,乘8和8次方的差別                           09/24 23:59
→ LPH66       : 期望值的線性性質不需要獨立也能成立                09/24 23:59
那不是獨立不就代表每個人不被看的機率不是1/4嗎？

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一樓正解，理由L大在推文也說了。

針對這個題目仔細下去算的話，也可以得到一樣的結論：

若8個人按照1-8的號碼坐一圈, 2號在1號右邊, 以此類推, 1號在8號右邊

先設  A_i = 1 , 若第i個人向右看 ; A_i=0, 若第i個人向左看

則 A_i = 1和A_i=0的機率都是 1/2, 且A_i 彼此都獨立

再設  B_i = 1, 若第i個人沒被看; B_i = 0, 若第i個人有被看

則

B_1 = 1 if A_2=1且A_8=0 ; 除此之外 B_1=0
B_8 = 1 if A_1=1且A7=0 ; 除此之外 B_8 = 0
i=2~7 時, B_i = 1 if A_(i+1)=1且A_(i-1)=0 ; 除此之外 B_i=0

或是可以寫成:
B_1 = A_2 * (1-A_8)
B_i = A_(i+1) * (1 - A_(i-1)) , i = 2 ~7
B_8 = A_1 * (1-A_7)

因為 A_8 跟 A_2 獨立, 所以 B_1 = 1 的機率 為 P(A_8=1)*P(A_2=0) = 1/4

同理, A_(i+1)跟A_(i-1)都獨立, 所以每個 B_i=1 的機率都是 1/4
B_i的期望值 E(B_i) = 1*1/4 + 0*3/4 = 1/4


很明顯 B_i 彼此不獨立, 所以 P(B1=1且B2=1) 不等於 P(B1=1)P(B2=1)

但是期望值不用獨立也可以相加, 所以
E(B1+B2+B3+...+B8) = E(B1) + ... + E(B8) = 1/4 * 8 = 2

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.125.75 (臺灣)
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※ 編輯: mantour (140.112.125.75 臺灣), 09/25/2021 16:18:30
推 thumbg75446 : 推推！感謝大大詳細講解！
推 alan23273850: 讚讚讚 這篇不錯
→ alan23273850: 如果能進一步解釋為什麼期望值不用獨立也可以相加
→ alan23273850: 就更棒了呢！
以下同樣只針對這個題目討論，更嚴謹和一般性的證明留待大大分享

簡單把A1~A8的所有可能情況列出來

          A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
case   1   0  0  0  0  0  0  0  0
case   2   0  0  0  0  0  0  0  1
...
case 256   1  1  1  1  1  1  1  1

再把對應的 B1 ~ B8 , 和 B1~B8 的總和(=沒被看的人數) sumB 寫出來

          B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 sumB
case   1   0  0  0  0  0  0  0  0    0
case   2   0  0  0  0  0  0  1  0    1
...
case 256   0  0  0  0  0  0  0  0    0

注意到 上表中每個直行的總和/256 分別就是Bi 和 sumB 的期望值
而每一橫列的sumB都是該列B1~B8的總和,
因此sumB這一行的總和其實會等於B1~B8行的行總和的總和
因此就得到sumB的期望值等於各個Bi的期望值的和
這裡只需要用到交換行列求和順序總和結果不變的性質
所以跟Bi彼此獨不獨立沒有關係

寫成算式：

令
Bij = case i 中 Bj 的值
sumBi = case i 中 sumB 的值

則

sumBi = sigma_(j=1~8) Bj
E(Bj) = sigma_(i=1~256) Bij / 256

E(B1)+E(B2)+...+E(B8)
= sigma_(j=1~8) E(Bj)
= sigma_(j=1~8)[ sigma_(i=1~256) Bij ] / 256
  交換求和順序
= sigma_(i=1~256)[ sigma_(j=1~8) Bij ] / 256
= sigma_(i=1~256) sumBi / 256
= E( sumB )
※ 編輯: mantour (36.226.168.27 臺灣), 09/27/2021 20:54:11
※ 編輯: mantour (36.226.168.27 臺灣), 09/27/2021 20:54:44
※ 編輯: mantour (36.226.168.27 臺灣), 09/27/2021 20:56:50
※ 編輯: mantour (36.226.168.27 臺灣), 09/27/2021 21:02:51