[微積] 請教基本極限問題

[capcom (昂首闊步武陵人)]

向來都是以左、右極限相同做為極限存在之定義，

但是若只在單邊有定義的極限要如何定義？

例如f(x) = sqrt(x)在x=0之極限。

小弟查過微積分的書籍，似乎沒有看到相關的說法，

而問過一些友人的意見，得到的都是因左極限不存在，所以極限不存在。

小弟個人是覺得既然只有單邊定義，

那就自然只能看右極限，故其極限為0。

在此想請教各位先進的看法，謝謝！

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推 StellaNe    : ε-δ 定義
→ judgment    : 在既可考慮左極限又可考右極限的情況下(←這是前提
→ judgment    : ！)，普通極限存在<==>左丶右極限皆存在且兩者相等
→ judgment    : 。 若函數在某點只能考慮單邊極限，那普通極限就等
→ judgment    : 於它的單側極限。
推 Vulpix      : 首先你應該捨棄向來二字。
→ judgment    : reference可參考 Thomas' Calculus_Early Transcen
→ judgment    : dentals_14ed, p.84 (sec2.4 theorem6)
→ mantour     : 順便請教一下，如果一個函數的定義域就只有x=0這一
→ mantour     : 點，那此函數在x=0的極限是否存在，此函數是否連續
→ mantour     : ？
→ mantour     : 又，如果函數的定義域是x<-1, x=0, 和x>1的聯集，
→ mantour     : 那在x=0的極限是否存在，在x=0是否連續。
→ mantour     : 直觀上感覺沒有斷點，而且如果定義域只有一個點，
→ mantour     : 寫成delta, epsilon的話，鄰域就是空集合，後面應
→ mantour     : 該不管什麼命題都成立，應該可以當作連續。
→ mantour     : 但是遇到第二種情況，又覺得好像應該是不連續
→ judgment    : 1.討論極限的前提在: x=c要是dom f的1個聚點(clust
→ judgment    : er point) ，否則的話討論起來並沒有意義(你可以說
→ judgment    :  f在c的極限值是任何1個實數值都對)。 2. dom f 若
→ judgment    : 有孤立點(isolated point)，則f在其孤立點必連續 (
→ judgment    : 由連續的 ε-δ 定義顯然易知)。
→ mantour     : 謝謝j大說明
→ capcom      : 感謝以上各位卓見！