[代數] 問一個不等式代換的問題

[TimcApple (肥鵝)]

這兩天被問到一題不等式

已知 a, b, c > 0, abc = 1
試證 (a+b)(b+c)(c+a) >= 4(a+b+c-1)

(1) 想問該題解法（我的不等式很差...）

(2) （轉問）有沒有可能使用代換
a = x/y, b = y/z, c = z/x 來解這題

(3) 上述的代換將 symmetric 變成了 cyclic
請問這是正常的嗎？

(4) 有沒有什麼訣竅
可以判斷本題適不適合使用該代換

(5) 原本 (a, b, c) 的自由度是 2
（a = u, b = v, c = 1/uv, 其中 u, v 獨立）
但是在代換之後, 我找不到 (x, y, z) 自由度是 2 的證據
（找不到獨立變數 u, v 使得 x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)）
這使得 (x, y, z) 看起來很像是自由度 3

想問 (x, y, z) 是否有隱藏關係式？
還是我對自由度的理解有問題？
或是代換後的自由度本來就能不一樣？
說起來 如果設 a in R, 再設 a = bc 應該也有類似的效果
總之差不多被搞迷糊了qw q

雖然 (1) 也蠻重要的, 但困擾的其實是 (5)

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啊 難道這代表我可以多設一個 (x, y, z) 的關係式？
可以設成 xxz + zzy + yyx = 1 嗎 好像沒啥用

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→ LPH66       : 原式只對 x,y,z 兩兩的比有興趣, 所以 x,y,z 同乘
※ 編輯: TimcApple (101.10.105.161 臺灣), 10/02/2021 22:41:27
→ LPH66       : 同一數式子本質不變, 所以自由度仍然是 2
→ LPH66       : 一樓被吃了所以再補一下: (x,y,z) = x*(1,u,v)
→ TimcApple   : 可是那樣 x, u, v 不是三個獨立變數嗎
推 LPH66       : 但 x 這下就只要不是 0 就會從式子裡消失了
→ TimcApple   : ok 這樣應該可以 感謝
推 cmrafsts    : 你把a,b,c都開三次根，就可以齊次化了