[線代] 為什麼一個 VS 必定存在 basis 要證明？

[alan23273850 (God of Computer Science)]

如題，我的構想是，先把 vector space 內的每個 vector 都納入 generating set，

接著再從 generating set 之內每次排除掉一個可以表成 set 內其他 vector 的線性

組合的 vector，這樣子逐步限縮，不就可以得到一個 linearly independent 的

generating set，也就是 basis 了嗎？

那為什麼聖經本第 1.7 節還要特地討論這件事情呢？

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推 Vulpix      : 除了finite dimensional vector space over finit
→ Vulpix      : e field，你的排除法在有限步驟內排不乾淨。
→ alan23273850: 所以如果不要求線性獨立，只要證明 generating set
→ alan23273850:  存在的話是可以的囉？
→ alan23273850: 我的意思是，每個 VS 都存在一個 generating subset
→ alan23273850: 這件事情應該是 trivial 的，不用證明？
推 Vulpix      : 對 VS 來說，自身是一個過於 trivial 的 gen. set。
→ Vulpix      : 雖然按定義還是得驗證一下的。然後下一個還是很
→ Vulpix      : trivial 但又比較 non-trivial 的是 V-{0}。
→ Vulpix      : 我覺得都不算未證自明。
推 arrenwu     : "Trivial" 的意思是"證明簡單"，不是不用證明
→ arrenwu     : 在數學裡面不用證明的只有公設
推 annboy      : 有些VS沒有countable basis 只有uncountable
→ annboy      : 這種相關的理論是functional analysis的範疇
→ annboy      : uncountable basis 的話G-S process也不太有意義
推 arrenwu     : 當你覺得Trivial的時候，不妨把證明寫寫看
→ arrenwu     : "Every vector space has a basis" 這個我一點也
→ arrenwu     : 不覺得很trivial
推 Vulpix      : minimal gen. set 跟 maximal l. indep. set 都是
→ Vulpix      : 絕對 non-trivial。
推 qwop8765    : 你的方法是構造性 你覺得可行的話試試看證明
→ qwop8765    : real value function space的basis存在