[微積] Apply the Ratio Test to power series

[anoymouse (沒有暱稱)]

書上關於ratio test是用在非負數的數列上，如紅字底所述:
https://i.imgur.com/PGDYpvy.png
但書上還是把ratio test用在power series上。

這是ratio test的ratio < 1的證明:
https://imgur.com/WEX56NW
https://imgur.com/f4p7FrB

請問是否可理解成在證明時的(1 + r + r^2 + ...)這一段，在power series上變成
(1 - r + r^2 - ...)?

然後再用The Alternating Series Test (Leibniz’s Test) 做判斷
(1 - r + r^2 - ...)是否收斂?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.242.38.34 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1633662189.A.243.html
→ mantour     : 第三張圖連結打不開
→ mantour     : 不過其實只要lim |a_{n+1}/a_n| < 1, 就是絕對收斂
→ mantour     : lim |a_{n+1}/a_n| > 1 就是發散
→ mantour     : 可以不用管正負號
改了 這樣看的到?
對啊 但我想確認為什麼他證明的時候只有用非負的項?
※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 12:02:09
→ mantour     : 1+r+r^2...收斂性不需用用到ratio test或alternati
→ mantour     : ng series test呀
→ mantour     : 他是用已知的geometric series的收斂條件去證明rat
→ mantour     : io test
→ anoymouse   : 我知道啊 但我現在是1-r+…也不用alternate?
→ mantour     : 你是說哪裡會用到1-r+r^2... ?
是
→ mantour     : 你是說第一張圖的(b)嗎?
推 mantour     : 他的解答是直接去證明|x|<1時,sum(|u_n|)收斂, 所以
→ mantour     : sum(u_n) 是絕對收斂
是Compairson test的概念嗎? Σ|u_n|>Σu_n 所以|u_n|收斂 u_n絕對收斂?
→ mantour     : 而sum (|u_n|) 的每一項都是正的, 所以也用不到
→ mantour     : alternating series test
→ mantour     : 更正: sum (|u_n|) 每一項都非負
推 mantour     : 更正: 我說的是解答的a
※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 12:56:31
→ mantour     : (b) 應該也是一樣的意思
對  都是一正一負 一樣的意思
→ mantour     : 把ratio test用在 取絕對值之後的級數 上
※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 12:57:14
→ mantour     : 等一下你的書上前面沒有講"absolute convergence"嗎
有耶 看到才想起來  感謝mantour的耐心回答 非常詳細
※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 13:03:59
※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 13:05:46