Re: [分析] Sf(x)x^n = 0 得到f=0 a.e.

[secjmy (大雄)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 在高微證過當f€C[a,b]時, 如果有
:  b
: ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 (黎曼積分)
:  a
: 那就有f處處為0
: 今天的問題是假設沒有連續性, 如果一樣假設
:  b
: ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 (Lebesgue積分)
:  a
: 是否能推出f = 0 almost everywhere
: ==========================================
: 我目前是要假設f在[a,b]有界就可以證出來了
: (利用一串連續函數逼近L^1函數, 再用Weierstrass多項式逼近到那些連續函數
:  只是最後統合的過程必須把|f(x)|提出來, 所以需要有界)
: 因此想知道是否原題有反例還是有原題成立的證明
: 謝謝！
我不確定一般的[a,b]區間是對不對，如果是[0,1]的話是對的
          x
考慮g(x)=∫f(t)dt，則因f是L^1，所以g在[0,1]上(絕對)連續，而且g'=f a.e.
          0
注意到g(1)=0，所以
 1                             1  1
∫g(t)t^n dt=g(t)t^{n+1}/(n+1)| -∫f(t)t^{n+1}dt=0 for all n>=0
 0                             0  0
因為g是連續，所以利用高微證過的結果，g=0

因此f=0 a.e.

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推 Vulpix      : [a,b]上就湊 [(t-a)/(b-a)]^n 吧。
我一開始以為換成[a,b]的話在分部積分那邊會出問題
不過剛剛仔細寫一下，發現[a,b]的情況g(a)=g(b)=0，真是太完美了XD
推 znmkhxrw    : 這也太神奇了吧!! 剛剛check L積分的分布積分條件
→ znmkhxrw    : 是吻合的, 也太神來一筆, 感謝!!
→ znmkhxrw    : 題外話, 思考這問題有什麼motivation嗎@@??
也沒什麼motivation耶，倒是背後有一些故事可以閒聊一下

我之前看過這題也不太會寫，就拿去問C老師(他以前考試出過這題)
C老師的作法用了很多大定理，包括Lusin theorem, Urysohn lemma, Weierstrass
approximation theorem

隔了一陣子後我剛好翻到以前S老師的高微筆記有個類題，剛好就是用分部積分解的
於是我想到也許能用在這題
結果試了一下還真的可以，實在是運氣很好
我就拿我的作法去跟C老師分享，他檢查所有條件都沒問題後，表示不錯，簡單很多XD

類似的題目指的是這個，有興趣的話可以想一下，作法差不多

f: L^1 on [0,1]
    1
If ∫f(t)sin(nπt)dt=0 for all n>=1, then f=0 a.e.
    0
※ 編輯: secjmy (140.114.34.213 臺灣), 10/10/2021 02:03:54
推 znmkhxrw    : 這歷史我喜歡XDD~謝謝
→ znmkhxrw    : 我原本認為這是一道隨便都能google到的普通題目,
→ znmkhxrw    : google不到時就想說或許也合理, 因為我是在證明其他
→ znmkhxrw    : 問題的途中需要@@
→ znmkhxrw    : 原來算是一道被考過的題目XDD
推 Vulpix      : 本來看到這個，我想用Legendre polynomial，可是好
→ Vulpix      : 像沒那麼方便。
推 Vulpix      : g(a)=g(b)=0真的很漂亮。