[分析] 三角系統的有限和為零則係數為零

[znmkhxrw (QQ)]

不好意思再請教一個由傅立葉級數衍生的一個小問題

首先聊個over F = R or C的多項式 p(x) = a_n*x^n + ... + a_0

令S是F的子集, 並且 p(x) = 0 on S

只要S有>= n+1個相異點, 我們就能證明p(x)的係數a_i全部為0

而如果S包含某個open set, 那我們就可以用微分去得到相同結果

也就是說S越大有越多證法: (1) #S >= n+1: 提出相減
                         (2) S在F有聚點: 幂級數為零的點有聚點則係數為0
                         (3) S包含某個開子集: 微分

但是今天傅立葉級數用到的是三角系統, 上述的(1),(2)都不適用了...

但是我還是覺得會有以下定理:

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                      q
<Theorem> Let f(x) := Σ c_k*e^(i*k*x) , c_k€C, x€R, p<=q, p,q€Ζ,
                     k=p

          if f(x) = 0 on S, where S is a subset of R s.t. #S = ∞

          then c_k = 0 for all k = p~q
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當然如果S包含開子集, 我可以用微分湊成凡得夢矩陣得證, 所以才想問較小範圍的話呢

總之, 想請問三件事情:

(1) <Theorem>正確嗎?

(2) 對於N個三角基底相加, 是否有像多項式有零點的最大數量, 超過就讓所有係數為0

(3) 承(1), (2), x€R如果改成x€C又如何?

    也就是說原本f:R→C, 會變成C→C

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麻煩版友了~謝謝!!

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※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/10/2021 03:22:06
推 Vulpix      : 你的S要再加點限制吧，晶格就是trivial反例。
推 Vulpix      : 考慮g(z)=Σ_{k=p}^{q}c_k*z^k，這個多項式在Ｃ上只
→ Vulpix      : 有有限多個根，所以落在單位圓上的根也有限。
→ Vulpix      : 有限多是指「頂多 q 個」 這件事。
→ Vulpix      : S要限制在單一週期內，例如 [0,2π) 之類的。
1. 欸對因為是週期函數, 所以要限制沒錯
2. 原來把e^(ikx)看成z^k, z=e^ix即可...謝謝解惑!
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/10/2021 15:25:20
推 Vulpix      : S限制在單一週期內，那S就會有聚點。剛好在邊界的話
→ Vulpix      : ，就自己移動S吧。反正S在R/Z上會有聚點。
→ Vulpix      : 然後改成Ｃ應該也可以用這個方法看，反正 Riemann
→ Vulpix      : sheet 有切好就好。
→ znmkhxrw    : 了解~感恩