[分析] 無限型∫f(x)dx寫成無窮級數和之極限

[znmkhxrw (QQ)]

想請教一下在Lebesgue積分:

 ∞                      ∞
∫  f(x)dx = lim   (1/p)*Σ   f(n/p) --(*)
 -∞         p→∞      n=-∞

這個式子要成立的話有什麼已知的充分條件呢?

我自己是有證明一個版本:

-----------------------------------------------------------------
<Theorem>

Let f€L^1(R)

and |f|<=M on R ---(C1)

and f monotonic on [A,∞) and (-∞, -A] for some A>0 ---(C2)

and f is continuous a.e. on R ---(C3)

Then (1) Σ_{n=-∞~∞} f(n/p) exists and finte for all p > 0
     (2) (*) holds
-----------------------------------------------------------------

證明的idea是:

(a) 造出階梯函數f_p(x) := Σ_{n=-∞~∞} f(n/p)*χ_[n/p, (n+1)/p)

    造出控制函數g(x) := M    , x€[-A,A]
                        |f(x)| , else

    然後就有 |f_p(x)| <= g(x) for all p

    P.S. 以上造法僅限於 f在[A,∞)向右遞增 & f在(-∞, -A]向左遞減

         但是根據四種不同的單調排列組合都可以製造出相應的f_p

(b) 因為f在R上a.e.連續, 所以我們有f_p(x)趨近於f(x) a.e. x€R

    因為f€L^1(R)所以g€L^1(R)

    根據以上兩個, LDCT告訴我們下面第一個等號, 第二個等號則by trivial check

     ∞                ∞                         ∞
     ∫  f(x)dx = lim ∫   f_p(x)dx = lim   (1/p)*Σ   f(n/p)
     -∞         p→∞ -∞            p→∞       n=-∞
==============================================================

總之, (C1)跟(C3)我覺得還OK, 問題就在於(C2)太嚴苛了

可是沒有單調性我又造不出控制函數QQ

由於我是在推導傅立葉轉換與離散時間傅立葉轉換的關係時需要(*)式

訊號通常不會有單調性

因此才想問說有沒有什麼其他寬鬆的條件

謝謝!!

(10/13更新)

找到一個符合L^1&(C1)&(C3)的反例:

f(x) = 1 ,for x€Q
       0 ,else

則p只要是正整數的話, f(n/p)都是1, 所以級數發散for all p€N

所以(C3)要加強至" 不連續點的數量有限 "才有機會...

(10/13更新2)

全連續, 甚至均勻連續都也有反例, 看來要控制震盪度

(10/14更新)

w大的locally BV也不能...把等腰三角形修改成C^1的話就locally BV了

https://www.desmos.com/calculator/jxkztslgm2

這裡我是用sine接起來的, 面積跟等腰三角形一樣

所以目前的超強反例是:

f€L^1, C^1, 非負, 趨近於0, 均勻連續, locally BV

而要C^∞我猜也可以, 用test function來接應該就好, 只是面積要再check一下

(10/15) 條件可放寬至以下

<Theorem> (原本)

Let f€L^1(R)

and |f|<=M on R ---(C1)

and f monotonic on [A,∞) and (-∞, -A] for some A>0 ---(C2)

and f is continuous a.e. on R ---(C3)

Then (*)成立

<Theorem> (現在)

Let f€L^1(R)

and f€BV(R)

and f is continuous everywhere

and Σ_{n=-∞~∞}f(n/p) converges

Then (*)成立

--
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推 PPguest     : 把(C2)換成non-negative 我猜可能有希望
謝謝幫想, 不過剛剛寫了一下發現(C2)換成non-negative(稱作C2')是一樣的耶

也就是說如果(C2)換成(C2')則定理成立, 則把(C2)拿掉也會定理成立

證明如下:

若任何L^1函數滿足(C1), (C2'), (C3)則(*)成立

則對於任何f€L^1且滿足(C1),(C3), f就能拆成f^+跟f^-且都是L^1且都滿足(C2')

如此一來藉由假設能得知f^+跟f^-都滿足(*)

接著透過減法就能知道證出f滿足(*) 得證

→ willydp     : 我猜L^1 + locally BV可以
確實是震盪的問題, L^1不能控制離散取樣的震盪性QQ

→ PPguest     : 我覺得(*)等號右邊可能要搞定黎曼積分,然後還要解決
→ PPguest     : 從有限區間擴展到實數可能會有的問題
→ PPguest     : (C3)我們要的應該是不連續點的集合0測度,這樣反例應
→ PPguest     : 該可以避開
應該要均勻連續或是有界變量來控制震盪, 全連續也有反例, 剛剛想到一個:

令f在整數點取值為1, 在每個n都造一個底為1/n^2的等腰三角形, 其餘都是0, 則f是L^1
但是所有正整數p都會讓級數發散QQ

→ PPguest     : 不太懂你造的全連續反例,n是什麼?跟(*)裡的n有關嗎?
→ PPguest     : 等腰三角形的高是?
→ PPguest     : 如果你是說整數點都是等腰三角形的頂點,n是指整數點
→ PPguest     : (*)等號右邊改成黎曼積分的瑕積分會不會就沒問題了?
https://www.desmos.com/calculator/d3gsgfck5u

大致上像這樣

→ PPguest     : 了解.級數不能爆掉的話f要限制,兩邊沒有趨近於0的應
→ PPguest     : 該是不行
趨近於0也是有反例, 只要把三角形的高變成1/n, 底變成1/n, 這樣f還是L^1
而級數和會是Σ1/n, 發散, 所以還是震盪問題@@
https://www.desmos.com/calculator/3c5gjvfcjj

→ PPguest     : 看到z大提到震盪,我想z大應該知道第一個反例,也就是
→ PPguest     : 有理數1,其他0的函數,是處處不連續,不符合(C3)
欸對 我在幹嘛XDDD 不過現在有處處連續的反例 只能朝震盪發展了QQ

→ PPguest     : f兩邊趨近於0大概是必要條件,直接要求級數收斂會不
→ PPguest     : 會比較快?
→ PPguest     :                                   ^f要滿足
當初有這樣想, 但是這條件很難檢查(太刻意&太強了), 所以還沒往這方向
而且即便收斂, 要說(*)左右相等我也沒其他想法
因為最初就是靠控制函數的讓 (1) 級數收斂 (2) (*)左右相等

今天如果假設(1)是對的, 還是沒其他idea說明(2)
總之我現在是往 "控制震盪後就存在L^1的控制函數"下手

→ PPguest     : 目前的想法是考慮f非負,(*)左式用MCT變成有限區間例
→ PPguest     : 如[-k,k]的積分然後對k取極限,接著再把積分變成黎曼
→ PPguest     : 積分,再來想把黎曼積分寫成黎曼和的極限,這時會碰到
→ PPguest     : 兩個極限是否能交換,如果可以,大概就變成(*)右式
→ PPguest     : 另外還要處理細部例如黎曼和怎麼取以及邊邊的部分
L積分比R積分的好處是容易處理極限交換的問題, 因為R積分極限交換要要求x變數對y變
數是均勻收斂, y變數對x變數逐點收斂, 這更難check...

不過既然locally BV都控制不了震盪性的話, 目前看起來只有單調而已了, 或是你說的直
接讓級數收斂當條件看有沒有辦法逼近積分了

推 Vulpix      : 直接BV呢？不要局部看。
                                                        ∞
V大根據你這個idea並且加入f€C^1, 接著利用 Var[a,+∞] = ∫ |f'| dx < ∞
                                                        a
目前沒什麼進展QQ
就是找不到idea去控制step function的每段的面積...

(10/15 更新)

V大你這個條件OK耶!! 只是要加入P大的條件"級數收斂", 整體敘述我放在文末

→ PPguest     : 我想到一個應該是非BV,但級數應該是收斂的例子
→ PPguest     : 當然這不影響BV很可能有希望
→ PPguest     : 用1/n^2的整數點,整數點之間造n個震盪
→ PPguest     : 這樣variation應該會像1/n那樣跑到無限大
→ PPguest     : 級數收斂用1/x^2或者p^2/x^2壓住(comparison test)
→ PPguest     : https://www.desmos.com/calculator/hy9bbumimy
P大你這個是(1) f€L^1 & 級數收斂for all p
           (2) (*)相等
           (3) 非BV
           (4) f連續且f趨近於0
嗎?

(10/15更新) 嗨P大, 級數收斂&V大的全域BV確實就得證了

接著就差好的條件去讓級數收斂了

→ PPguest     : 之前我想證 若我們有一個跟f有關的級數收斂,則有均
→ PPguest     : 匀收斂,兩個極限可以交換(先考慮f非負).初步想想感
→ PPguest     : 覺有希望.後來想說改寫成積分形式的,發現基本上就是
→ PPguest     : 在做控制函數,假設是L^1(R),直接用你的證法就解決了
→ PPguest     : 我考慮的級數換成函數是長這樣：
→ PPguest     : Σ_{n=-∞~∞}sup_{[n,n+1]}|f(x)|*χ_[n,n+1)
→ PPguest     : 如果f不是非負的話,可能要檢查一下
推 PPguest     : 關於我提的例子,如果我沒想錯的話,(1)是對的
→ PPguest     : (2)是對的,因為可以找到L^1(R)的控制函數
→ PPguest     : (3)應該對,雖然以前BV好像都是用在有限區間的函數
→ PPguest     : (4)是的.0那邊用直線連起來,往無限大的部分像1/x^2
→ PPguest     : (2)我好像講錯,控制函數要和p無關,暫不確定
→ PPguest     : (好多東東差點搞混)       ↑我是指用p^2/x^2壓住
→ PPguest     : (2)藉由1/x^2平移證明那個控制函數是L^1,所以是對的
推 PPguest     : 直觀上我以為加上BV就能解決,畢竟反例應該都掛了
→ PPguest     : f是L^1(R),BV,若f能寫成兩遞增函數相減,那兩個遞增
→ PPguest     : 函數會L^1(R)嗎？
→ PPguest     : 啊,不要理我,應該不行,通常都會爆掉或出問題
→ PPguest     : 直觀上覺得有BV的話,就不會有無限多的x讓f(x)的值跑
→ PPguest     : 到會讓級數發散的地方
→ PPguest     : 我剛想到一個證明,要證若f是L^1(R),BV,連續,則那個
→ PPguest     : 控制函數也會是L^1(R)
→ PPguest     :                         先加個f非負好了
→ PPguest     : 假設要證明的東西是錯的,那個函數的L積分是∞
→ PPguest     : 目標是要得到variation也會是∞
→ PPguest     : 考慮另一個階梯函數,也就是把那個控制函數的sup改成
→ PPguest     : inf,這樣子這個函數會是L^1(R)
→ PPguest     : 直觀上每個區間sup和inf的差累積起來應該就要爆掉
→ PPguest     : 細節不確定sup和inf是兩端點都有取,會不會造成問題
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幫PPguest貼文把原本的長推文換成寫得比較完整一點的文字

1.想到一個證明

本來想證在f€L^1(R),(C1)(C3),非負的條件下，若我們有一個跟f有關的級數收斂，

                    [kp]
則當k→∞時，(1/p) * Σ   f(n/p) 對p均匀收斂。
                   n=-[kp]

其中k的來源是把整個R上的積分變成[-k,k]區間的積分再取極限，

∞       MCT       k
∫ f(x)dx = lim   ∫ f(x)dx
-∞         k→∞ -k

p則是來自於把黎曼積分換成黎曼和的極限。

目標是p和k的極限可以交換。


初步想覺得有希望，後來不小心想說把新增的條件改寫積分的型式，

結果發現本質上似乎就是做出LDCT的控制函數。

（本來做的控制函數後來發現無法大於等於|f_p(x)|）

-----------------------------------------------------------------
<Theorem>

Let f€L^1(R)

and |f|<=M on R ---(C1)

and f is continuous a.e. on R ---(C3)

and Σ_{n=-∞~∞}sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} converges ---(C4)

Then (*)成立
-----------------------------------------------------------------

證明的想法：

大方向和原po最初的證明一樣要用LDCT，這裡只講控制函數的部分。

(ⅰ)令 u(x) = Σ_{n=-∞~∞} u_n *χ_[n,n+1), u_n = sup{|f(x)|, x€[n,n+1)}

    由(C4)知 u(x)€L^1(R)。

(ⅱ)（造控制函數）

    令 g(x) = Σ_{n=-∞~∞} g_n *χ_[n,n+1),

    g_n = ︴u_n,     if u_(n-1) <= u_n
          ︴u_(n-1), if u_(n-1)  > u_n

(ⅲ)（g(x)€L^1(R)）

     g(x) = u(x) + Σ_{n=-∞~∞} (g_n-u_n) *χ_[n,n+1)

         <= u(x) + Σ_{n=-∞~∞} u_(n-1) *χ_[n,n+1) < +∞

(ⅳ)（|f_p(x)| <= g(x) for p >= 1）

     對每個 [n/p, (n+1)/p) 區間，n€Z, n/p 一定落在某個 [N,N+1) 區間中。

     若 (n+1)/p <= N+1，則 所有 [n/p, (n+1)/p) 內的 x 都有 |f_p(x)| <= g(x)。

     若 (n+1)/p > N+1，則 因為 p >= 1，所以 (n+1)/p <= N+2；

        所有 [n/p, N+1) 內的 x 都有 |f_p(x)| <= g(x)；

        所有 [N+1, (n+1)/p) 內的 x 都有 |f_p(x)| <= u_N <= g_(N+1) = g(x)。
==========================================================================

2.關於原po提的4個問題，

我忘了說 [0, 0.5] 那邊用直線連起來，函數值都是1，方便起見只考慮單邊。

(1) f 是 L^1(R)，因為函數在 [1,∞) 被 1/x^2 給壓住，[0,1] 內有界。

    級數收斂for all p 也對，用 p^2/x^2 壓住 + 級數的comparison test。

(2) (*)會成立。

    在 [1,∞) 本來是說用 1/x^2 平移來壓住 u(x)，於是 u(x)€L^1(R)。

    現在發現直接看級數，用1/x^2 壓住 (C4)就成立。再用前面證的定理即可。

(3) 非BV沒錯。

    每個正整數點跟前一個整數點之間有 n 個振盪，振幅是 1/n^2，

    Σ_{n=1 to ∞} 2 * n * 1/n^2 <= V[f,[0,∞)]

(4) f連續沒錯，x 往無限大時 f 趨近於 0 沒錯。
==========================================================================

3.關於BV

直觀上覺得有 f€L^1(R)、(C1)、(C3)、BV，應該就會有(*)，畢竟反例應該都掛了。

直觀的想法是，若有BV,就不會有無限多的 x 讓f(x)的值跑到會讓級數發散的地方。

-----------------------------------------------------------------
<Theorem>

Let f€L^1(R)

and |f|<=M on R ---(C1)

and f is continuous a.e. on R ---(C3)

and f is BV function.

Then Σ_{n=-∞~∞}sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} converges ---(C4)
-----------------------------------------------------------------

證明的想法：

假設(C4)是錯的，Σ_{n=-∞~∞}sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} = +∞

目標是total variation V[f,R] 要爆掉。

(ⅰ)

令 u(x) = Σ_{n=-∞~∞} u_n *χ_[n,n+1), u_n = sup{|f(x)|, x€[n,n+1)}

   l(x) = Σ_{n=-∞~∞} u_n *χ_[n,n+1), l_n = inf{|f(x)|, x€[n,n+1)}

則對每個 x 都有 l(x) <= |f(x)|，於是 l(x)€L^1(R)

   由假設(C4)是錯的，∫u(x)dx = +∞

(ⅱ)

因為 | |f(x_(i+1))|-|f(x_i)| | <= | f(x_(i+1))- f(x_i) |，

所以 V[|f|,R] <= V[f,R]。

(ⅲ)

因為 ∫u(x)-l(x)dx = +∞，所以Σ_{n=-∞~∞} u_n - l_n = +∞

但 Σ_{n=-∞~∞} u_n - l_n <= V[|f|,R] <= V[f,R]，與 f 是BV 矛盾。
==========================================================================

推 PPguest     : 另外,也有點好奇z大新版本的定理大概是怎麼證的
我證單邊的模式, 雙邊類似, 只是f(0)這一項額外提出來給1/p壓掉即可

https://www.desmos.com/calculator/3xyysgekfl

→ PPguest     : 那串推文可以用"推"分成三部分,完整打可能要晚一點
→ PPguest     : 另外我剛發現第一部分那個控制函數可能無法大於等於
→ PPguest     : |f_p(x)| for all p
→ PPguest     : 等於整個幾乎都要打掉(哭
沒關係啦XDD 有空你再寄站內給我我幫你貼上就好, 推長文不太好看

謝謝討論囉~

→ PPguest     : 目前的進展是滿足條件下似乎可以構造出LDCT用的控制
→ PPguest     : 函數,但還是要完整寫出來才能確定
→ PPguest     : 另外,我開始好奇如果在有限區間內,條件只有f是L^1,
→ PPguest     : finite,不連續點的集合0測度,這樣是否足夠,或者還要
→ PPguest     : 再加什麼條件才能讓無上/下界的f能滿足(*)
昨天為了解決" Σ_{n=-∞~∞}f(n/p) converges "這個條件(還是覺得下這個太刻意)

想到" f(x) = O(1/x^q), q>1 " 這個條件可以達成

進而發現這個條件就可以達成我要的控制函數了...

也就是說, 最後我認為最滿意的版本是:

-----------------------------------------------
<Theorem>

Let f s.t. |f|<=M on R

and |f|<=g for some monotone g€L^1 (因為g€L^1所以立得g遞減到0)

and f is continuous a.e. on R

Then (1) f€L^1
     (2) R.H.S of (*) exists for all p > 0
     (3) (*) 成立
------------------------------------------------

反而total bounded variation那個版本的證明我發現:

(a) 上界多估了好多東西
(b) 還是無法保證級數的收斂性

好像控制震盪性又不是那麼足夠

而最初只想到要由f本身去做假設然後造出控制函數,

就沒想到用" 有個單調的控制函數 "當假設即可
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/17/2021 21:36:05
→ PPguest     : 最後這個版本感覺確實比較好用,我也錯過了它
→ PPguest     : 好奇你也是用例如平移1單位,並限制p>=1的方式來壓住
→ PPguest     : |f_p(x)|嗎？
→ PPguest     : 另外你定理寫的條件感覺有點怪
1. 我是正向f(n/p)都往左邊造step function然後用g的單調性控制住
   即 f(n/p)*χ_((n-1)/p,n/p]
2. 哪邊怪怪的呢??

→ PPguest     : 定理裡面的第二行看起來是只有一個單調函數g 在整個
→ PPguest     : R上要L^1又要壓住|f|
沒錯耶, 概念來自於要讓級數存在的話, 我之前有過假設 f(x) = O(1/x^q), q>1

這樣就可以讓級數存在, 之後我更發現這個 C/x^q 就可以當 f_p(x) 的控制函數

你覺得怪怪的地方我寫清楚後應該如下:

Let f s.t. |f|<=M on R

and |f|<=g for some monotone g€L^1

Then |f_p(x)|<=g(x), where f_p(x) = Σ_{n=1~∞} f(n/p)*χ_((n-1)/p,n/p]

→ PPguest     : 要不要像(C2)那樣分三段,左右兩段各有一個單調函數
是需要呀, 只是我都寫一邊而已(正向)XD, 所以左右都要就是

|f|<=g , g€L^1(R), g is monotonic on [A,∞) and (-∞,-A]

※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/18/2021 22:21:06