推 znmkhxrw : 謝謝提供新證法, 只是我脫離實變好幾年, 好多陌生XD 10/16 00:07
提供一個與前一個解答不同的想法(也許跟C老師很像XD)
會用到一些Real analysis的定理
可參考Rudin的「Real and complex analysis」
==== 結論 ====
我想應該只需要 f in L^1([a,b]) 即可
==== 前情提要 ====
Theorem 6.16 (Rudin)
Suppose 1≦p＜∞, X=[a,b], and μ is the Lebesgue measure on X.
Let Φ be a bounded linear functional on L^p(μ).
Then there exists a unique g in L^q(μ) (where 1/p+1/q=1) s.t.
Φ(f) = ∫f g dμ.
這個定理在說 1≦p＜∞ 時，bounded linear functional on L^p 可 identified 成 L^q
(p=1時有一些限制，但X=R or X=[a,b]會滿足此限制)
Theorem 5.20 (Rudin)
Given f in X = L^p(μ) with 1≦p＜∞.
There is a bounded linear functional Φ on X s.t.
Φ(f) = ||f||_{L^p}.
這個定理是Hahn-Banach Theorem的應用，
在說bounded linear functional「看得到」X (normed space) 裡面的東西
(也就是若 f≠0 in X，則存在一個Φ使得Φ(f)≠0)
Theorem 3.14 (Rudin) + Stone-Weierstrass Theorem
前者說明連續函數可逼近L^q函數(in L^q)，後者說明多項式可逼近連續函數(in L^∞)
因考慮的interval [a,b]是有限區間，後者也說明多項式可逼近連續函數(in L^q)
==== 策略 ====
假設有一個f in L^p([a,b]) (with 1≦p＜∞) 滿足 (for every n)
∫f (x^n) dμ = 0
(μ = Lebesgue measure)
Claim: ∫f g dμ = 0 for every g in L^q([a,b]) (where 1/p+1/q=1).
Proof:
Theorem 3.14 + Stone-Weierstrass 說存在 polynomial P_n converging to g in L^q
可以用Holder證明∫ f g dμ = lim ∫ f (P_n) dμ
(我猜這一步應該類似於你說的原本需要 |f| bounded的步驟，但此處只需要f in L^p)
至此證完Claim。
有了Claim再使用上述Theorem 6.16 + Theorem 5.20即可證明 f = 0 in L^p，因此f = 0 a.e.
註: L^p 意指 L^p space，其定義的 norm 為 ||f||_{L^p} = ∫ |f|^p dμ
(when 1≦p<∞)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 69.176.153.123 (美國)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1634285595.A.69C.html
※ 編輯: yasfun (69.176.153.123 美國), 10/15/2021 16:16:08