作者arrenwu (不是綿芽的錯)
看板Math
標題Re: [中學]高中數學
時間Mon Oct 18 08:01:21 2021
※ 引述《adamchi (adamchi)》之銘言:
: 2.有900個實數,每個數的絕對值不超過2/3且它們的立方和是0,
: 求它們和的最大值
: 答:200
這問題我還挺感興趣給中學生是怎麼做的。因為我用的手段不是中學生的範疇了
假設那900個實數為 X1, X2 ...... , X900
用 X = [X1, X2 ...... , X900] 來表示這900個數
900
定義 f(X) = ΣXi
i=1
那我們想要做的問題就是
maximum f(X)
subject to ΣXi^3 = 0 ,
Xi^2 - 4/9 <= 0
首先,X的 domain 是 closed and bounded, 所以X絕對存在極大值
接著,對於這個問題列出 KKT condition,可以得到,達成極大值的 X 必須滿足
Link:
https://bit.ly/3n1tuya
存在 {λi | 1<=i<=900} 和 μ>= 0 使得
-1 + 2λiXi + 3μXi^2 = 0 for all i ....... (1)
λi(Xi^2 - 4/9) = 0 for all i ....... (2)
ΣXi^3 = 0 ........(3)
這些等式同時成立
(i) 如果 μ= 0
從
(1) 可得知 2λiXi = 1 → λi ≠ 0
而 λi ≠ 0 則可以從
(2) 得出 Xi 們要不是 2/3 就是 -2/3
那麼從
(3) 我們可以知道這情況下各自是 450 個,f(X) = 0
看得出來這並不是太有趣的結果
(ii) 假設 μ> 0 (這邊才會得到比較有趣的結果,但也比較長)
這次我們從
(2) 切入。對於任意 i in {1,2,3,...,900},
λi ≠ 0 → Xi = 2/3 or -2/3
那 λi = 0 呢? 這個就可以從
(1) 得到 Xi = 1/√(3μ) or -1/√(3μ)
這邊開始比較有趣囉
https://i.imgur.com/ot2Iyi8.png
如果我們令 α = 1/√(3μ), 那麼在 μ >0 的情況下,
滿足 KKT condition 的
Xi們的數值只能是 α,-α,2/3,-2/3
這個 α 本身要大於零,而且我們還可以進一步限制 α < 2/3。
為什麼呢? 因為如果 α = 2/3 ,就跟 (a) 的結果一樣了
假設這些 Xi中,有 a 個是 α
b 個是 -α
c 個是 2/3
d 個是 -2/3
這時候 f(X) = α(a-b) + 2/3*(c-d)
......(4)
ΣXi^3 = α^3(a-b) +8/27*(c-d) = 0
......(5)
a+b+c+d = 900
......(6)
a,b,c,d are non-negative intergers
(5)可以得到 2/3(c-d) = -α^3(a-b)*9/4
把這個結果帶入
(4) 可以得到
f(X) = (a-b)α(1-9/4α*2)
.....(7)
到目前為止沒用到
(6) 的限制,這樣能弄出東西就見鬼了。
從
(6)可以得到:
900 = a+b+c+d = (a-b) + 2b + (d-c) + 2c
= (a-b) + 27/8*α^3*(a-b) + 2b+2c by
(5)
→ (a-b)(1+27/8*α^3) = 900-2b-2c
→ (a-b) = 900-2b-2c / (1+27/8*α^3)
......(8)
將(8)帶入(7)可得到
f(X) = (900-2b-2c)*α(1-9/4α*2)/(1+27/8*α^3)
...... (9)
這裡呢,我們也不用考慮 900-2b-2c <= 0 的情況,
因為這還不如(i)看到的 f(X) 的情況
讓我們把(9)裡面 α 的部分拿出來看
α(1-9/4α*2)/(1+27/8*α^3)
= α(1-3/2α)(1+3/2α)/[(1+3/2α)(1-3/2α+9/4α^2)]
= α(1-3/2α)/(1-3/2α+9/4α^2)
= -2/3 + 1/(
27/4*(α-1/3)^2 + 9/8 )
上面這個α的部分,在 α = 1/3 的時候會有最大值 2/9
也就是說
f(X) = (900-2b-2c)*α(1-9/4α*2)/(1+27/8*α^3)
<= (900-2b-2c)*2/9
<= 900 * 2/9 (畢竟 b,c 都要 >=0)
= 200
我這樣在(ii)寫了一大串,到底寫了什麼?綜合起來就是在說,
在滿足 KKT condition (1)(2)(3) 且 μ> 0 的情況下,
Xi們只能是 1/√(3μ),-1/√(3μ),2/3,-2/3 其中一種數值
而且 f(X) 不會超過 200
那f(X)到底有沒有可能在這種情況下達到 200?
有,
就是 800 個 1/√(3μ) = 1/3 和 100 個 -2/3
所以這個問題的極大值就是 200
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角卷綿芽首次個人Live: Watame Night Fever!! in Zepp Tokyo
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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1634515284.A.599.html
→ Starvilo : 網路解法但看不懂如何想法。109學科能力中投題目 10/18 11:18
推 LPH66 : 上面第二行少等號, 9x^3-3x+2/3"="(x+2/3)(3x-1)^2 10/18 12:49
→ LPH66 : 然後我猜它的想法是設法湊出 ax^3+cx+d >= 0 10/18 12:50
以他的做法,是要湊出這個沒錯
→ LPH66 : 這樣全部求和後就有立方和跟總和可以套關係 10/18 12:50
→ LPH66 : 那至於為什麼要湊 (x+2/3)(x-1/3)(x-1/3) 就不知了 10/18 12:51
→ LPH66 : 從形式上猜, 或許是從 x>-2/3 起, 設法消掉二次項 10/18 12:53
→ LPH66 : 還要保持範圍內恆正 10/18 12:53
推 Starvilo : 了解~ 10/18 12:55
→ LPH66 : 再繼續猜下去的話, 前篇的設 -2/3 和 2p/3 可能也是 10/18 12:59
→ LPH66 : 類似的推算 (用 2p/3 去解出那個 1/3 來) 10/18 12:59
那個做法問題在於他多用了一個 Xi必須要是 -2/3 和 2p/3 的條件,
但並沒有證明考慮這樣的Xi就足夠
推 vectorlog : 總感覺柯西可以 10/18 14:48
※ 編輯: arrenwu (98.45.135.233 美國), 10/18/2021 18:21:55