[分析] 實變捲積的存在性證明(Solved)

[znmkhxrw (QQ)]

如題請教一下是否下面這件事情很trivial:

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<Property>
若 p€[1,+∞], f€L^p(R^n), g€L^1(R^n)
則 f＊g(x) exists for almost every x€R^n
   (特別是p=+∞是處處存在)
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會這樣問是因為Zygmund在(6.14)有敘述到但是沒證明(p=1)

而在(9.1)更是直接把存在性當已知(p€[1,+∞])


而之後去google時查到一份資料

https://sites.math.washington.edu/~hart/m526/Lecture2.pdf

他真的有證明, 順序脈絡如下:

(1) p=1 捲積a.e.存在

(2) p=+∞ 捲積處處存在

(3) 1<p<+∞ 捲積a.e.存在

閱讀之後發現(1), (2)確實簡單, 但是(3)他用到了一個性質:

任何p>=1, L^p的函數都能拆成L^1與L^∞的兩個函數和 ---(●)

這個性質目前在Zygmund找不到, 然後自己有想到一個證明:

令f€L^p(R^n)
令g(x) = f(x)*χ_{|f>1|}, h(x) = f(x)*χ_{|f<=1|}
則g是L^1, h是L^∞ (h甚至是處處<=1)

但是這個證明<Property>的脈絡看起來也不trivial阿....

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總結一下想問的幾個問題:

(1) <Property>是否有trivial的證法(不然Zygmund不太可能這樣帶過)

(2) Zygmund (9.9) https://imgur.com/ByeNad9 這個定理的證明完全沒有到
    K是L^∞, 我猜測這個條件是為了讓捲積處處存在, 不然f的連續點x如果
    剛好捲積不存在就糗了, 所以我覺得Zygmund應該有考慮到這件事, 剛好呼應那份
    pdf所述

(3) Stein的 https://imgur.com/uBK5Occ 21.-(c)的敘述,
    竟然只要f, g是可測函數就能確保捲積a.e.存在...這是錯的吧!?
    反例: f(x) = 1, x€rational
                -1, x€irraational
          g(x) = 1, x€R
          則f, g都是可測函數, 但是f＊g(x)處處不存在

謝謝幫忙~

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→ lala840819  : 你可以試試把h(x)=|f(y)g(x-y)| 寫成 |f(y)||g(x-y)
→ lala840819  : |^(1/p)|g(x-y)|^(1/q)然後用Holder Inequality 估
→ lala840819  : 計，再用這個估計去估計h的Lp norm 你會發現是有限
→ lala840819  : 的， 所以h is well-defined a.e.
推 lala840819  : 更正一下，h(x)是|f(y)g(x-y)|對y積分
l大你這邊的邏輯是不是:

若|F|的積分有限, 則F welldefined a.e.

這樣是錯的吧...函數要先a.e.有定義才能討論積分不是嗎, 這也是為什麼我覺得Zygmund
直接把卷積函數拿來積分覺得怪怪的, 因為要先確定卷積函數的存在性

推 lala840819  : 卷積是某函數積分，若積分存在則卷積存在。所以要看
→ lala840819  : 積分是不是存在就直接掛絕對值估計這個積分，因為非
→ lala840819  : 負函數都可以算積分，所以掛絕對值後不用擔心存在性
→ lala840819  : 問題，只需要估計這個積分會不會是有限的。
完全同意, 也就是因為這樣才會有最後那個三個問題, Zygmund覺得trivial所以沒證
還是說真的有更trivial的方式去證明存在性...

→ willydp     : 我覺得沒寫是因為真的很簡單, 有點分析經驗的應該懂
→ willydp     : 可積性出問題，不是某處增長太快，就是遠處衰退太慢
→ willydp     : L^p之間包含的關係也可以用這二點來看
w大你說的這兩點確實就是我證明p>=1的L^p能分解成L^1+L^∞的思路
只是從以前唸Zygmund到現在, 存在性他都很care都會說, 只是證明簡單的話就會
留做exercise

但是對於捲積卻什麼都沒說, 我就在想到底是它有多麼trivial的看法
還是證明就是像我說的reference那樣證, 然後他認為這個證明太trivial了就當默認存在

推 Vulpix      : 這可能不trivial，但應該相當自然。
了解~

經過版友和朋友的討論, 整理答案如下:

(1) 存在性是確定的, 只是trivial
(2) K是L^∞確實是為了捲積處處存在
(3) Stein那邊少加了L^1
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/21/2021 23:53:44
→ lala840819  : 有興趣也可以看看別本書，像是Folland的 Real Analy
→ lala840819  : sis(應該蠻好查到的)的第8.2章有針對convolution 的
→ lala840819  : 介紹，Folland應該也證明的比較仔細一點可以參考看
→ lala840819  : 看。
推 yasfun      : (1)可以用Young's inequality說明/想像