推 fragmentwing: 可以交換順序的前提是兩者必須互不影響 10/24 13:27
→ fragmentwing: 不知道我這樣的理解是否正確 10/24 13:27
→ Vulpix : 如果你的互不影響是指流線相容的話，是。 10/24 13:31
※ 引述《fragmentwing (片翼碎夢)》之銘言：
: https://reurl.cc/2o6deX
: https://imgur.com/TdETOf3
: 我知道(dH/dS)p=T，(dH/dP)s=V (我知道d是有點斜斜的那個)
: 然後前面分別放上d/dp、d/ds就能相等
: 可是最後一步我就搞不懂了，為甚麼最後左式要定s、右式要定p
: 直接算下去的話不是dT/dp=dV/ds就結束了嗎?
: 為甚麼會變成(dT/dp)s=(dV/ds)p
: 要變成這個結果，還需要考慮甚麼規則嗎?
我想你已經知道 d/dx 就是指在固定 y 的情況下對 x 偏導。
更詳細一點看，當我們寫下 d^2 f/dxdy 的時候，
其實是這個意思：(d/dx (df/dy)_x )_y
我覺得你大概是以為「d/dx 這個偏微分算子是只要知道 x 代表什麼就能夠作用」。
但這是不對的。
看看下面這個例子。方便起見，x > 0 而且 y > 0。
z = f(x,y) = x/√(x^2+y^2)
=> (df/dx)_y = y^2/√(x^2+y^2)^3
但是 z 也可以看成 x、r = √(x^2+y^2) 的函數：z = g(x,r) = x/r。
=> (df/dx)_r = 1/r = 1/√(x^2+y^2)
這兩個微分結果很明顯長得不一樣，
可是 (x,y) = (3,4) 和 (x,r) = (3,5) 明明就表示同一個點，
而且 x 一直都是 3，沒有隨著更換第二個坐標而跟著變化。
從上面這個例子可以看出 (d/dx)_y 和 (d/dx)_r 其實是兩個不同的算子，
即使 x 是同一個 x，對應的微分算子卻仍不相同。
再多算一下，甚至會發現 A = (d/dx)_r 和 B = (d/dy)_x 不能交換順序。
用 z 代表 F(x,y) = F(x,√(r^2-x^2))
那麼 Az = F_x - F_y*x/y => BAz = F_xy - F_yy*x/y + F_y*x/y^2
Bz = F_y => ABz = F_yx - F_yy*x/y
所以 ABz - BAz = -F_y*x/y^2
也就是說 [A,B] = AB - BA = (-x/y^2)B
所以 A 和 B 他們的流線雖然交叉，卻無法編織成一組坐標。
（這是因為流線上兩點的坐標差距已經定死了，
而第二組流線卻沒有辦法與第一組流線相容。）
而 (x,y) 本來就是坐標，所以 (d/dx)_y 和 (d/dy)_x 能夠交換順序。
當然其實還有關於極限交換順序的細節，但你在讀的畢竟是熱力學嘛。
然後 Maxwell relations 裡面對每個變數的微分都有出現兩次，
但很明顯兩次微分固定的東西都不同，例如 (d/dV)_S 和 (d/dV)_T。
這也顯示出只知道 V 是無法決定何為 d/dV 的，必須依賴其他變數。
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※ 編輯: Vulpix (1.160.13.224 臺灣), 10/24/2021 12:53:08