Re: [分析] Fourier 轉換一題

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: 已知 Fourier 轉換 F 將
: 1. 微分算子轉換為 multiplicative 算子；
: 2. 將卷積算子轉換成逐點相乘的算子。
: 請問 1 是否導致 2？
: 亦即我考慮一個線性算子 L 滿足 1，盡可能不假設其他條件下，是否會滿足 2？
: 佳佳

每次寫佳佳出的作業都只能寫到一半……


感覺上是對的。

我的想法是把所有的物件都形式化，應該就能看出 1 總是蘊涵 2。

首先，D = differential operator
      X = multiplying by x, which is diagonal in the "x-basis"。

1: LD = ΛL for some diagonal operator Λ

所以 1 這個條件可以直接看成是在對 D 做對角化，L 是 "diagonalizer"。

逐點相乘也可以形式化成這兩種樣子：f(X)g 或 g(X)f。

當然也可以這兩者的任意分點。

考慮到目前的問題，或許更適合用 φ(K)γ 這種寫法。

其中 φ = Lf、γ = Lg，而 k 是像空間的 label，K 則是「乘以 k」的算子。

但是我目前卡在 convolution 上，找不太到完整的形式化寫法。

我的希望是找到 basis free 的形式。

但目前最好的結果只到：

f＊g = ∫dy g(y)exp(-yD) f = ∫dy f(y)exp(-yD) g

如果上式可以不通過 y 表達的話，應該是可以比較容易看出來「1 => 2」。

（當然上式最大的問題是他其實要求 f 和 g 都 analytic，而且收斂半徑還要∞。

  不過至少先處理這個夠理想的情況，再來解決一般化吧。）


如果不這麼做的話，至少 1 的形式化已經說明了這是 D 的對角化問題，

而 D 的 eigenfunction 就是各個指數函數。

L 可能不一定要是 Fourier transform，但應該還是 ∫exp(zx)f(x)dx 這種類型，

也就是 chy 提到的 exponential kernel。

Fourier transform 的 z 取在虛軸上，應該還有其他線可以用，可以走彎的嗎？

Laplace transform 的 z 是取負實數，不過 z=0 的邊界問題很討厭:p

最常見的不外乎上面這兩個，而他們對 convolution 都有類似的結論，

所以我還是覺得 2 應該是對的。

但要把分析寫完這點我覺得麻煩，所以才想用形式化逃進代數運算。

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然後我好像找到寫法了。

f＊g = ∫dy g(y)exp(-yD) f = ∫dy f(y)exp(-yD) g

     = (Fg)(-iD) f = (Ff)(-iD) g

這樣一來

L(f＊g) = (Fg)(-iΛ) Lf = (Ff)(-iΛ) Lg

如果 Fg(-iΛ) = Lg(K) 就結束了，所以問題在 Λ 與 K 的關係上。

如果 Λ = iK，就有 L = F。

但這沒有那麼容易，Λ = iK^3 也沒有什麼不對。

畢竟 Λ 和 iK 都是 D 的對角化，卻不見得要是同一個。

或許一個更簡單的例子是 Λ = -iK，這代表 L 是 inverse Fourier transform，

當然可以宣稱只差一點點，那其他情況其實也都只差一點點。

每一個一點點不同都會做出一個不同的 L。

具體來說，Lf(k) = Ff(-iλ(k))。

這是在考慮 1 和 2 同時成立的情況做出的結果，至少形式上如此，

所以這種情況不會違背 2。


而事情如果發展成要調整 eigenvector 的長度和相位，

那 Lf(k) = ∫dx h(k)exp(-ikx)f(x)，也就是 Lf = h*Ff。

如果 h 是常數的話，其實對我們來說也是很常見的。

畢竟每次寫下明確的 Fourier transform 都要確認一遍所有的參數。

前一個情況包含了 exp(±ikx) 或 exp(±2πikx) 這些常用的 convention。

而現在的情況則會討論到整個轉換是否會有一個係數 1/2π、1/√(2π) 等，

當然一旦考慮到 discrete measure on lattice 就又有不同的係數了。

而更廣義的情況則是允許係數隨 k 而變，所以是 h(k)。

在這個情況下不須更動捲積的定義，

只是捲積與逐點積的關係變成 h*L(f＊g) = Lf*Lg。


然後之前我好像誤解 c 大的意思了，那應該是上面的情況。

我弄成這個：∫w(x)dx exp(-ikx)f(x)。

不過這個可以看成是一個 absolute continuous measure w.r.t. dx。

所以捲積 f＊g 要定義成 ∫w(y)dy f(x-y)g(y)，然後 L(f＊g) = Lf*Lg。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 10/26/2021 16:03:29
推 cmrafsts    : 雖然不知道卷積是怎麼寫成那樣的，不過看起來很棒！
→ cmrafsts    : 不過你後面的符號好像有點問題？Lambda是給定的線性
→ cmrafsts    : 函數。至於卷積寫成什麼樣子我覺得都很好，能證出來
啊，看懂了。
Λ 確實是給定的 l.o.，K 也是由 dual sapce 指定。
但這兩者之間可以有非線性的函數關係，例如 Λ = K^3 + K。
小寫的 λ 就只是在描述這個函數而已。
把 i 提出來是因為至少在 Schwarz space 上面，Λ 跟 K 都在 k-basis 下對角化。
→ cmrafsts    : 就好XD不過我感覺你這樣應該還沒有證出什麼東西？我
然後把卷積寫成 basis free 確實只是我的堅持而已XD
→ cmrafsts    : 沒有學過算子理論之類的，我想的是說L把D對角化之類
→ cmrafsts    : 的也還只是idea，我想像L會把exp變成h乘上delta也只
→ cmrafsts    : 是一種可能的variation而已吧？
推 cmrafsts    : 我還是認為得假設一些連續性的條件算下去。
對，不過算子理論其實把這段講得還滿完整的。
把下面的推文寫個簡短一點的說明：
如果把函數空間「先」限制到多項式乘以高斯函數所展開的空間上，
高斯函數的中心與寬度都不另加限制而且不考慮無窮多個這種函數的和，
那我們將暫時不用擔心函數發散至無窮大或泰勒展開不收斂等情形。
應該除了 completeness 以外，其他屬性都很不錯，
而且現在也沒有要處理 function sequence 的極限，所以完備性暫時不重要。
（除了泰勒展開，但是泰勒展開是冪級數，微分積分都有逐項計算的定理。）
在這情況下，是可以得到只有這些可能的發展方向。
至於要推到目前常用的空間上的時候，就有各種眉角要注意，
這就是我前面說不想完全從分析角度著手的理由>"<

光是要把 D 對角化就會有很多問題，
雖說在常見的情形下，D 的 eigenvalue 都在虛軸上。
但這不代表 exp 就不能看成 eigenvalue=1 的 eigenfunction，
問題在於 exp 有沒有進入我們的函數空間。
→ Vulpix      : 沒有嚴格證明。只是如果有什麼東西是對的，至少應
→ Vulpix      : 該要符合這個架構。把D對角化的細節問題會發生在函
→ Vulpix      : 數空間的選擇上，但是這個架構應該在Schwarz space
→ Vulpix      : 上是可以的。或者要找一個更小的空間，例如多項式
→ Vulpix      : 與高斯函數的積。這樣一來，D是self-adjoint，上述
→ Vulpix      : 形式化的積分也都能好好定義。
→ Vulpix      : 至於捲積怎麼寫成那樣的，是用了泰勒展開，所以我
→ Vulpix      : 前面才說函數要有無限大的收斂半徑。
→ Vulpix      : 最後是λ，應該不用線性。如果我沒想錯，在反轉換
→ Vulpix      : 上，λ的非線性代表的是有一個weight function在。
→ Vulpix      : 線性的一次係數如果不是1這種，其實也會給出無聊的
→ Vulpix      : weight。
→ Vulpix      : 我對算子理論讀得不多，只是因為物理系都直接要用
→ Vulpix      : ……但讀了一本Hibert space之後，我覺得大部分問
→ Vulpix      : 題都被藏在算子的定義域裡面，之後的算子計算才能
→ Vulpix      : 比較令人感到暢快。當然還有bounded之類的細節。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 10/28/2021 17:01:13
→ Vulpix      : 天哪，那本我正帶在身邊，是聯經出版的，已故的賴
→ Vulpix      : 漢卿老師寫的Hilbert空間論導論。可能不是最經典的
→ Vulpix      : 書，但我喜歡他的寫作動機，是科學的中文化。