Re: [線代] 對角矩陣的轉換

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 標題: [線代] 對角矩陣的轉換
: 時間: Mon Oct 25 22:52:16 2021
:
: 請教一下各位先進，
: 如果有一個方陣A可以對角化為矩陣D = (P^(-1))DP，
: 有沒有可能存在其他的某Q，一樣可以對角化D' = (Q^(-1))AQ，
: 但是得到的是D'卻不等於D？

不用限制P,Q 就得到了 D'跟D只會差別在順序

:
: 這裡說的不等於是在排除以下2種狀況及其組合後仍然不相等。
: 1.Q只是P的行向量各自乘以某個常數
: 2.Q只是P的行向量做順序的改變
:
: 如果在排除以上情況後具有一定程度的唯一性，
: 想請問各位先進應該要如何證明？
: 感謝先進的指導～

<Theorem> Let A, P, Q, D, T€M_nxn(F), F is a field
          s.t. (1) P, Q are invertible
               (2) D, T are diagonal, say D = diag{d_i} and T = diag{t_i}
               (3) D = (P^(-1))AP and T = (Q^(-1))AQ
          Then there exists a permutation σ:{1~n}→{1~n} s.t. d_i = t_σ(i)

pf: By (3), we have A = PDP^-1 = QTQ^-1
    Hence D(P^-1Q) = (P^-1Q)T, where W:=P^-1Q is also invertible
    Hence D = WTW^-1, which implies D and T have the same char. poly.
    Now see char_D(x) = Π_{i=1~n} (-1)^n (x-d_i)
            char_T(x) = Π_{i=1~n} (-1)^n (x-t_i)
    It's easy to check d_i = t_σ(i) for some permutation σ

    (ex: For (x-d_1)(x-d_2) = (x-t_1)(x-t_2) for all x€F
         Let x = d_1, then one of t_i is d_1, say t_1 = d_1
         Hence (x-d_1)(x-d_2) = (x-d_1)(x-t_2) for all x€F
         Hence (x-d_2) = (x-t_2) for all x€F-{d_1}
         and so on...)

也就是說, 不論重根或是finite field, 都可以得出這個結論

而如果以固有空間來看, 第一組的AP = PD已經決定了F^n空間的分割方式與

固有值的所有可能性, 也就是說, 如果今天t是一個固有值, 即Av=tv for some v!=0

那把v寫成Σa_i*p_i, 我們有AΣa_i*p_i = tΣa_i*p_i

進而得到 Σa_i*d_i*p_i = tΣa_i*p_i

而由線性獨立得到 a_i*d_i = t*a_i for all i

而因為v!=0所以至少有個i使得a_i!=0, 因此我們有t = d_i for some i

也就是說, 你找不到其他的固有值了

也因此你不管是d_i還是t_i, 單純只是順序的不同, 展開的固有空間一定一樣

因為固有空間只跟固有值有關, 跟順序無關


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※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/26/2021 00:30:14
推 Lanjaja     : 謝謝z大，我也曾經想過，算特徵多項式得到的特徵值
→ Lanjaja     : 是固定的。但是後來我拿一個對稱矩陣當例子，調一下
→ Lanjaja     : 特徵項量的長度，對角化出來的矩陣對角元素卻不固定
推 Lanjaja     : 謝謝z大，我可能有些地方誤會了，我再重新想想
是不是沒有要問D'跟D的關係而是其他關係XD??
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/26/2021 08:17:45
→ cmrafsts    : 我覺得可能是在做quadratic form
推 Vulpix      : 應該是因為你的P^-1都用P^T在算，可是特徵向量長度
→ Vulpix      : 變了=>P不再orthogonal(各行之間不再保持ortho-
→ Vulpix      : "normal"）。如果還是正常計算P^-1，特徵值是不會
→ Vulpix      : 變的。
推 Lanjaja     : 謝謝V大，真的是這個問題，難怪要限制長度為1才方便
→ Lanjaja     : 感謝各位大大的指點