Re: [分析] Fourier 轉換一題

[LimSinE (r=e^theta)]

※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: 已知 Fourier 轉換 F 將
: 1. 微分算子轉換為 multiplicative 算子；
: 2. 將卷積算子轉換成逐點相乘的算子。
: 請問 1 是否導致 2？
: 亦即我考慮一個線性算子 L 滿足 1，盡可能不假設其他條件下，是否會滿足 2？
: 佳佳

這個問題其實滿有意思的，如網友提出1.不能推出2.(至少可差函數倍數)，
那麼1.可以推出多少呢？

1a. F{f'} = it F{f} (我們先把1.寫清楚，F{}表題目之轉換，轉換後變數為t)
1b. 設f_a(x) = f(a+x)，則 F{f_a} = exp(iat) F{f}

我們證明在適當條件下1a. => 1b.

顯然對任意a， (f_(a+h) - f_a) / h → (f_a)' as h→0 pointwisely
我們假設F可以pass limit (譬如f是Schwartz function，F在Schwartz space上線性連續)

則有 F{f_(a+h)} - F{f_a} / h → F{f_a'}  (也有pointwisely)
固定t，記 H(a) = F{f_a}(t) 則應用微分定義與1a有 H'(a) = it H(a)
解a之ODE，得到H(a) = exp(iat) H(0)，即是1b.


有1b.有甚麼好處呢？
因為 f_a(x) = f(x) * delta(x+a) (*為convolution)
所以就是證明
F{g*f} = F0{g} F{f} ，其中F0是「真」Fourier變換，在g是delta(x+a)是對的。

從這裡出發，就可以推出上式對任意g也是對的，
因此原題2.只要其中一個F改為F0就對了。



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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。

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→ kuromu      : 平移算子可寫成微分算子的指數？
推 Vulpix      : 回樓上，雖然可以，但是先建立在entire function（
→ Vulpix      : 然後限制在實軸上）上。更一般的函數，那個指數算
→ Vulpix      : 子應該當成形式上的寫法。
推 tiwsjia     : 感謝，非常美麗的解答！