[線代] 線代通解問題

[harry921129 (哈利~~)]

         四元一次方程式
         ax+by+cz+du=0

         若已知相異三個解為

        (x1,y1,z1,u1) (x2,y2,z2,u2) (x3,y3,z3,u3)

        則此ax+by+cz+du=0 的通解為

        X= x1*P+x2*Q+x3*R
        Y= y1*P+y2*Q+y3*R
        Z= z1*P+z2*Q+z3*R
        U= u1*P+u2*Q+u3*R
        其中P,Q,R為實數

        這要怎麼證明此參數式所有解呢?

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※ 編輯: harry921129 (122.118.117.169 臺灣), 11/07/2021 21:15:12
推 RicciCurvatu: 通解會在這三個點構成的二維平面上
推 Vulpix      : 相異不夠充分啊。
推 arrenwu     : 你要得到那結論，那三個解要 linearly-independent
推 arrenwu     : 而如果這三個解 Linearly- independent，定義線性
→ arrenwu     : 變換 f((x,y,z,u)) = ax+by+cz+du
→ arrenwu     : 這個線性變換的定義域 dim =4 ，值域 dim = 1，所以
→ arrenwu     : nullity = 3。而你那三個解是三個在Null Space裡面
→ arrenwu     : linearly-independent的向量，故可以形成Null Space
→ arrenwu     : 的一個basis。這樣就可以達到你要的證明了