[中學] 一題恆等式

[znmkhxrw (QQ)]

想請問一下對於任何正整數N, 為什麼下列式子恆成立:

N-1                            k+1
Σ (-1)^k * C(N+1, k+1) * (1-───)^N = 1
k=0                            N+1

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不符合二項式定理的形式後我怎麼試都湊不出來QQ

(1-(k+1)/(N+1))^N 找不到方法拆出來...

謝謝幫忙!

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推 Vulpix      : 把 N 次方拆成 k 次方和 N-k 次方。
我有想過 (x+y)^n = Σ_{k=0~n} C(n,k) *     x^k * y^(n-k)
                 = Σ_{k=0~n} C(n,k) * (x/y)^k * y^n

但是今天y裡面有k就很怪, 不能套二項式定理
可是除了這個目前沒其他想法@@

→ pnicarevol  : 若Σ補上k=-1，則總和即為0； 經變數變換可得
→ pnicarevol  : Σ{h=0~M}*C(M,h)*h^(M-1)=0
→ pnicarevol  : 更正：Σ{h=0~M} (-1)^h * C(M,h) * h^(M-1)=0
→ pnicarevol  : 若能證明上式即可推得原式
怎麼證明上式...我怎麼對這個恆等式沒印象QQ

推 Vulpix      : 喔對吔。那試試看用N+1和N相減怎麼樣？
V大是指哪項減哪項阿@@?

→ pnicarevol  : 我發現h的次方那一項，只要次數小於M都會對
真的耶 好酷
https://www.desmos.com/calculator/pdm2ndjqnl

→ pnicarevol  : 如果次數為零次就跟二項式定理一樣
→ pnicarevol  : 但次數大於零的情況，我也還沒找到相關的證明@@
是喔! 那這個性質應該可以得到一些蛛絲馬跡
而且我發現n太大時不能用desmos網頁數學模擬XD
你的 Σ{h=0~M} (-1)^h * C(M,h) * h^(M-1)=0 在M=15時就超過雙精度的範圍了
跑出了非0的結果, 所以我一開始以為這個式子是錯的

後來用python對於int可以不受限於64位元才保證確實你的式子是對的XD

推 LPH66       : 樓上要證的好像能這樣?
→ LPH66       : https://i.imgur.com/56NFbTa.png
→ musicbox810 : L大說的好像就是多項式在等間隔點上的關係式
→ musicbox810 : 不知道z大在哪邊看到這一條恆等式的
我目前努力的方向跟L那個好像有關係, 算是結合L大跟p大的結果:

For any n>=2
              n
Let h_m(x) := Σ (-1)^k * C(n,k) * (k+x)^m, for all 1<=m<=n-1
             k=0

Then h_m(x) = 0 for all x€R

也就是說, p大的case是x=0的情形, 但是其實all x€R都對

而這個結果讓我可以用微分, 因此 h_m'(x) = m*h_(m-1)(x)

因此才說跟L大的reference很像

@m大: 幫朋友的朋友算抽卡期望值所發現的XDDDDD
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(整理出要證明的東西了)

<Theorem> Let n>=1,m >=0, both integers
                           n
          define h_m(x) := Σ (-1)^k * C(n,k) * (k+x)^m, x€R
                          k=0

          Then (1) 0<=m<=n-1: h_m(x) = 0 for all x€R

               (2) m=n: h_m(x) = const != 0 for all x€R

               (3) m>n: h_m(x) is a polynomial of degree m-n
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不過剛剛研究了一下發現<Theorem>的成立依賴於h_m(0)的值....

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最後發現general form是

                n
    h_m(x,y) := Σ C(n,k) * (k+y)^m * x^k, where x, y€R
               k=0

<Theorem>只是x=-1的特例, 而要解這個問題就一直微分就好了
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.71.68 臺灣), 11/12/2021 15:56:36