Re: [中學] 高中數學競賽試題(兩題)

[forget0309 (龍雪飲)]

1.根據中國剩餘定理，原題目等於考慮（a,b)這樣的數對有幾種
其中a是mod 2的餘數 b是mod 101的餘數

從f(x)=x(x-37)+5，可以知道mod 2的餘數一定是1

所以題目可以再簡化成mod 101的餘數有幾種(好處是質數比較好討論)

f(x)=f(y) (mod 101) iff
(x-y)(x+y+37)=0 (mod 101) iff
(x-y)=0 or (x+y-37)=0 (mod 101)
第二個iff有一邊有用到101是質數的性質

從這邊可以知道如果x>101，則
f(x)=f(x-101) (mod 101)

再來討論x<=101的部分
x=1和x=36同餘
……
x=18和x=19同餘

接著
x=37和x=101同餘
…
x=68和x=70同餘
x=69自己一組

所以總共51種

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→ cmrafsts    : mod 101的不用算，他就是二次剩餘的個數。
推 LPH66       : 把一次項 -37 補成 -37+101=64 就能配方成
→ LPH66       : (x+32)^2+c (c 是一個常數不過不用算)
→ LPH66       : (x+32)^2 的餘數可能性就是一樓提的二次剩餘
→ LPH66       : 加一個常數 c 不會把不一樣的變一樣, 所以個數不變
→ forget0309  : 又學到一招了，感謝樓上兩位大大
推 flyIssac    : 也有二次函數的解法走到對稱的概念去找有解的。但須
→ flyIssac    : 注意f(x)出來是負的話不予計算。餘數無負。是可以篩
→ flyIssac    : 出來的。