※ 引述《adamchi (adamchi)》之銘言：
: 2.若直線 y = (1/m)x 與
: x = 4[t/π]-2cos(t-[t/π]π),t屬於實數
: 曲線 {
: y = 2|sint|
: 共有101個相異交點,其中m為正整數,[x]為小於或等於x的最大整數
: 則 m = ___
: 要麻煩各位高手解題,謝謝
注意到 t-[t/π]π 其實就只是「t 除以π的『餘數』」
以及 |sin t| 的週期也是 π
因此可以知道在一個長度為π的週期裡
x 是一個常數減去 2cos, y 是 2sin
由於 |sin t| 的週期性, 實際上的角度也可以當成是「t 除以π的『餘數』」
所以這 cos 和 sin 的角度是一樣的, 差別只在 cos 取負數
因此它所描繪的是一個半圓
圓心在 (4[t/π], 0), 半徑為 2, 且是 y 座標為正的上半圓
(因為是取 0 到π為週期, cos 取負的影響就只有這個圓是由左畫到右
而不是照一般的上半圓由右向左畫而已)
因此這曲線其實就是連續地在 x 軸上互相貼著排成一排的半徑為 2 的許多上半圓:
https://i.imgur.com/l6XH0jP.png
現要找一條通過原點的直線和這一群半圓交 101 個點 (上圖紅線)
由於有個半圓圓心在原點, 直線和這個半圓只交一點
剩下的 100 個交點都在其右, 和每個半圓各交兩點
因此這條直線恰和接下來右邊 50 個半圓各交兩點
也就是說, 和圓心在 (200, 0) 的半圓有相交, 但和圓心在 (204, 0) 的半圓不相交
為找出這個範圍, 考慮和這兩個半圓相切的斜率:
https://i.imgur.com/QHyo8GI.png
切圓心在 (200, 0) 的圓之直線斜率是 tanθ = 2 / √(200^2-2^2) = 1/√(101*99)
同理, 切圓心在 (204, 0) 的圓之直線斜率是 2 / √(204^2-2^2) = 1/√(103*101)
所以所求的斜率 1/m 有 1/√(101*99) > 1/m > 1/√(103*101)
倒數回來再平方可得 101*99 < m^2 < 103*101
易知 101*99 < 100^2 < 101^2 < 103*101 < 102^2
故本題有兩解: 100 和 101
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