[中學] 問 AMC12 一題的解法

[TimcApple (肥鵝)]

FALL 2021 AMC12 A

25. 設 m >= 5 且為奇數
並設 D(m) 表示四元數組 (a_1, a_2 ,a_3 ,a_4) 的組數
其中 a_i 為相異的整數，1 <= a_i <= m (i=1,2,3,4)
且 m 可以整除 a_1+a_2+a_3+a_4

若有一個多項式 q(x)=c_3 x^3+c_2 x^2+c_1 x+c_0
對所有的奇數 m >= 5 滿足 D(m) = q(m)，則 c_1=？

(A) -6  (B) -1  (C) 4   (D) 6   (E) 11


由於沒有想到好作法，我直接窮舉 D(5), D(7), D(9), D(11) 然後暴力插值
但 AMC 作答時間有限，這樣肯定算不完
想問有沒有其他解法，特別是有沒有遞迴的作法

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推 alan23273850: 這裡的相異是指完全相異嗎？
推 alan23273850: 我的想法是，之所以要限制 >= 5，又對於以上的數字
→ alan23273850: 都相等，代表大數之後會有一定的規律，我會把 D(n+
→ alan23273850: 2) - D(n) 找出來
→ alan23273850: 只不過那個規律剛好能被三次多項式表達而已
推 alan23273850: sum 只可能是 m, 2m, 3m, 4m，估計跟 H(n,m) 有關
→ TimcApple   : 是完全相異 其實沒有 4m 不像 H 而是像 partition
推 alan23273850: 我覺得一定有規律，不然怎麼那麼剛好有多項式可以
→ alan23273850: 描述，想想相鄰 D 之間的關係？
推 LPH66       : 不會是 4m (因為四元組元素相異)
推 emptie      : https://youtu.be/N9CeK0320hc?t=451
→ emptie      : 忍不住去看答案了 我發現我完全想錯方向了
→ emptie      : 這個性質是不是跟group theory有關
推 alan23273850: 他是不是也沒證明到 for all large n 這件事
推 cmrafsts    : 影片沒有仔細證明。考慮Z/mZ-action on (Z/mZ)^4
→ cmrafsts    : 1(a,b,c,d):=(a+1,b+1,c+1,d+1)。每個orbit上的m個
→ cmrafsts    : 元素的總合剛好形成Z/mZ。如果m是偶數，這會是錯的
→ cmrafsts    : 所以有他所說的「對稱性」。
推 cmrafsts    : 你也可以寫個生成函數下去算，勉強還算高中生會算的
→ TimcApple   : 噢噢噢 懂了 這招真猛
→ TimcApple   : 不用 for large n 其實 group theory 也不用
→ TimcApple   : 用同餘就可以了 只是很難想到的想法
→ TimcApple   : 以前也是有學過類似題啦但不熟 沒往這方面想
推 alan23273850: 蘋果大要不要用回文的方式再把同餘的概念統整一遍
→ alan23273850: 呢？這樣才能方便想知道的人了解其細節