Re: [其他] 等號需要定義 & 集合需要等號 嗎?

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: (E1) 在Herstein的代數中定義多項式環時, 他有先定義兩個多項式相等為係數相等
:      這代表Q1跟Q2的答案是肯定的囉? 也就是說, 順序如下:
:      (1) 先寫出一個集合R[x]叫做多項式集合, 收集了所有形如a_n*x^n+...+a_0的物件
:      (2) R[x]的存在性目前不涉及等號, 只是如果我們如果要討論
:         《屬於, 包含, 子集, 元素個數...》這些名詞的話, 就要先定義等號,
:          因此這裡採取"係數相等"為R[x]的等號定義
:      (3) 去證明這個等號定義符合Q2的(1)~(4)
:
:      如果嚴格說來是這樣沒錯, 那怎麼證明Q2的(4)?
:      如果不是這樣, 那又是如何呢?
:
: (E2) Z = {所有整數}, 我們可以由皮亞諾公設與ZF公設去說他已經有等號了
:      像是 1 != 2, 1 = 1...
:
:      接著考慮equivalence relation的話, x,y€Z, x~y iff x-y is even
:      就可以定義 Z_2 := {[x]│x€Z}, where [x] := {y€Z│x~y}
:      然後藉由集合的相等定義來當作Z_2的等號, 因此#Z_2 = 2
:
:      所以目前的邏輯跟(E1)一致: (1) 定義出Z_2
:                                (2) 定義等號為集合相等
:      且默認集合的相等是符合Q2的(1)~(4)的
:
:      但是今天我能不能這樣做: (1) 在Z上定義新的等號叫作"%", 定義為:
:                                  x,y€Z, x%y iff x-y is even
:                              (2) 證明%符合Q2的(1)~(4)
:      然後說Z在%的等號定義下#Z=2
:
:      可能有人會說《%根本就是~》, 但是我會舉這個例子是要跟(E1)對比:
:
:        【如果R[x]的等號是需要定義的, 那我為什麼不能在Z上重新定義等號】
: ---------------------------------------------------------------------------
:
: 總之, 這些牽扯到哲學, 邏輯公設, 公設...的東西我本來就不想鑽
: 但是目前我解決不了(E1)與(E2)的矛盾...
: 還是要解決矛盾就真的要碰這些...
:

解決「矛盾」其實沒有必要這麼深入。

我用 direct sum 講是因為你已經提到數列了，這是一樣的東西啦。

除了 wiki 以外，你可以參照 Hungerford 的 Algebra p.149。

多項式就是 (a,b,c,0,0,0,...) 這種數列，

重點是頂多只有有限項非零（項的概念直接從數列拿來用）。

而有限項非零就是 Abelian group 的 direct sum（index set 是 {0}∪Ｎ），

所以加法也直接從環的加法群結構生出來（不可視為環結構的 direct sum）。

讓多項式環成為環，我們還需要乘法，這個用 convolution 定義。

最後只要檢查一點性質就可以確認多項式集合是否真的是個環。


然後開始處理「表示法」，畢竟我們更習慣用 x 等不定元來表示多項式。

首先最重要的就是 x。

這個簡單，給 (0,1,0,0,0,...) 一個外號「x」就搞定了。

順便注意一下 (0,1,0,0,0,...)^2 = (0,0,1,0,0,...) 是算得出來的，

所以 (0,0,1,0,0,...) 自動成為 x^2。

再來是常數項：

把 R embed 到 R[x] 裡面，r 對應到 (r,0,0,0,...)。

接下來「在不致混淆的情況下」，將 (r,0,0,0,...) 也稱呼為 r。

這樣一來，(a,b,c,0,0,0,...) 就可以被寫成 a+bx+cx^2，

同時也可以是 a+cx^2+bx+0x^100 等「長相」，

雖然這個長相不是唯一的，但他們都只是 (a,b,c,0,0,0,...) 的外號。


這樣看下來，多項式是函數嗎？

那個數列看起來跟 R→R 的函數是八竿子打不著的吧，所以多項式不是函數。

然後我們就給他第九竿(X)

考慮 R[x] 裡面的某個元素 s，定義一個函數 f_s:R→R，f_s(r) = g_r(s)，

其中 g_r 是 evaluation homomorphism at r，

例如 g_r( (a,b,c,0,0,0,...) ) = a+br+cr^2，或者 g_r(a+bx+cx^2) = a+br+cr^2。

s 是多項式，而 f_s 是可以用多項式 s 表示的函數，所以 f_s 叫做多項式函數。


關於為什麼一定要區分多項式和多項式函數：

我在原文推文有提到 Z/2Z 上 x^n（n>0）全都是同一個多項式函數，

但從數列定義來看他們彼此明顯是不同的多項式。

甚至講得極端一點，考慮 affine algebraic set {0,1} in Ｃ，

f(x) = sin(πx/2) 也是他上面的「多項式函數」，因為可以用多項式 x 表示。


Herstein 定義的多項式相等，其實只要把「definition」拿掉應該就不會讓你混亂。

他實際上只是把我們怎麼檢查兩個數列是否一樣換句話說而已。

你可以懷疑這個定義是否與「多項式相同」等價，但這只要證明就好。

總之他並不是試圖去「另外定義」一個等號，

就這點來說，確實不適合用定義稱呼。


至於所謂「很大的字串集合和很大的等價關係」則是從表示法開始定義多項式，

這是許多國中生的學習歷程。

現在課綱所下的定義：由數和文字符號進行加法和乘法運算所構成的算式，稱為多項式。

既然他講到「加法」和「乘法」，以國中生所學，

會認為結合律、交換律、分配律等交換環的結構都是自然存在的，

另外還有「加 -a」就是「減 a」和「減 -a」就是「加 a」。

上面的結合律等計算規則，就形成字串的等價關係。

但這個等價關係有點大，光是 1-x 的等價類裡面就塞了很多東西，

「項數」不好定義、「deg」不好定義、「係數」不好定義，

很多我們談到多項式的時候愛用的性質、名詞都不好定義。

雖說不是不能定義，但通常都必須在等價類裡面挑出「最簡」的字串再來談。


更何況等價類太大的時候還有可能出意料之外的岔子，

雖然多項式應該是遇不到的，但要保證的話好像又要一條定理。

Tensor product 是很有用而且有趣的運算，

常見的定義就是要把 direct product 拿去當「基底」做成一個超大的 module，

然後再除掉一個超大的等價關係。

在看過 R[x] 和 R[y] 運算成 R[x,y] 之後，

怎麼會想到 Z/2Z 和 Z/3Z 居然算出 0 來呢？

要是我們除掉的等價關係太大，一個不好可能會得到很小的 quotient set，

這點須要驗證，但因為等價關係太大所以下手驗證的痛苦指數太高。

所以最後定義多項式的時候都傾向繞過這個說法。


至於數學基礎方面我就不是很熟了，

我大概就是集合論柏拉圖主義者吧！

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推 TassTW      : 第九竿
>///<
多項式被看成多項式函數，好像是一個 forgetful funtor？
→ recorriendo : 我覺得這些原PO應該都懂
我猜他原本不知道的名詞只有 direct sum。
→ recorriendo : 把東西變成集合以後就可以做 當然沒有問題 我其他
→ recorriendo : 講的是是否*一定*要把東西變成集合才能做 不把所有
→ recorriendo : 東西變集合 是否那個定義就需要了
→ Vulpix      : 那難道不也是換成另一套object嗎？話說那本書字體
→ Vulpix      : 大小和頁面的比例也太難閱讀了……
→ recorriendo : 那是arxiv版本 也有springer出版排版好的
→ recorriendo : 你不用假設它變成底層的東西 就可以進行推理
→ recorriendo : 就算它真的變成某種底層的東西 你的證明本身可以抽
→ recorriendo : 離這個事實
→ Vulpix      : 集合論推出來的眾多定理應該也很多都可以抽離？像
→ Vulpix      : 是3這個概念不就是沒學過建構方法的人都不知道是{0
→ Vulpix      : ,1,2}嗎……
→ xcycl       : 把 3 編成集合是一種，也可以自然定義一進位系統
→ xcycl       : 這樣 3 只是這個系統下 S(S(S0)) 的代稱
successor 可以直接確定存在？（大吃一斤）
→ xcycl       : 用純符號系統不直接透過集合論比較方便檢驗
→ xcycl       : 當然這些符號定義的方式要符合某種形式規範
→ xcycl       : 這些形式規範設計的時候可以統一討論語意
→ xcycl       : 最後當然還是可以編碼到集合論上，但不需要跑到底層
→ recorriendo : 所以我們想在含有x的語言內進行證明 而不管x可以編
→ recorriendo : 譯成序列的事實
→ recorriendo : 要這樣做就要定義這個語言裡的+,*,=怎麼使用
好像比較知道你們在說什麼了，細節就要看書了吧。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 11/22/2021 18:33:10
推 PPguest     : 看到第九竿讓人會心一笑