Re: [其他] 等號需要定義 & 集合需要等號 嗎?

[znmkhxrw (QQ)]

不好意思原本想用推文的, 但是文字上很難描述我在推哪一段QQ

※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: 標題: Re: [其他] 等號需要定義 & 集合需要等號 嗎?
: 時間: Mon Nov 22 14:09:38 2021
:
: 解決「矛盾」其實沒有必要這麼深入。
:
: 我用 direct sum 講是因為你已經提到數列了，這是一樣的東西啦。
:
: 除了 wiki 以外，你可以參照 Hungerford 的 Algebra p.149。
:
: 多項式就是 (a,b,c,0,0,0,...) 這種數列，
:
: 重點是頂多只有有限項非零（項的概念直接從數列拿來用）。
:
: 而有限項非零就是 Abelian group 的 direct sum（index set 是 {0}∪Ｎ），
:
: 所以加法也直接從環的加法群結構生出來（不可視為環結構的 direct sum）。
:
: 讓多項式環成為環，我們還需要乘法，這個用 convolution 定義。
:
: 最後只要檢查一點性質就可以確認多項式集合是否真的是個環。
:
:
: 然後開始處理「表示法」，畢竟我們更習慣用 x 等不定元來表示多項式。
:
: 首先最重要的就是 x。
:
: 這個簡單，給 (0,1,0,0,0,...) 一個外號「x」就搞定了。
:
: 順便注意一下 (0,1,0,0,0,...)^2 = (0,0,1,0,0,...) 是算得出來的，
:
: 所以 (0,0,1,0,0,...) 自動成為 x^2。
:
: 再來是常數項：
:
: 把 R embed 到 R[x] 裡面，r 對應到 (r,0,0,0,...)。
:
: 接下來「在不致混淆的情況下」，將 (r,0,0,0,...) 也稱呼為 r。
:
: 這樣一來，(a,b,c,0,0,0,...) 就可以被寫成 a+bx+cx^2，
:
: 同時也可以是 a+cx^2+bx+0x^100 等「長相」，
:
: 雖然這個長相不是唯一的，但他們都只是 (a,b,c,0,0,0,...) 的外號。

以上了解!

:
: 這樣看下來，多項式是函數嗎？
:
: 那個數列看起來跟 R→R 的函數是八竿子打不著的吧，所以多項式不是函數。
:
: 然後我們就給他第九竿(X)

我原本先看推文還去google第九竿是什麼梗...原來在這XDDDDDDDDDDD

:
: 考慮 R[x] 裡面的某個元素 s，定義一個函數 f_s:R→R，f_s(r) = g_r(s)，
:
: 其中 g_r 是 evaluation homomorphism at r，
:
: 例如 g_r( (a,b,c,0,0,0,...) ) = a+br+cr^2，或者 g_r(a+bx+cx^2) = a+br+cr^2。
:
: s 是多項式，而 f_s 是可以用多項式 s 表示的函數，所以 f_s 叫做多項式函數。
:

好奇一下我不能直接定義 f_s(r) := a+br+cr^2, where s = (a,b,c,0,0,0,...)嗎@@?
因為s的數列長相是唯一的, 不會有不well-defined的問題

:
: 關於為什麼一定要區分多項式和多項式函數：
:
: 我在原文推文有提到 Z/2Z 上 x^n（n>0）全都是同一個多項式函數，
:
: 但從數列定義來看他們彼此明顯是不同的多項式。
:
: 甚至講得極端一點，考慮 affine algebraic set {0,1} in Ｃ，
:
: f(x) = sin(πx/2) 也是他上面的「多項式函數」，因為可以用多項式 x 表示。

V大提到f(x) = sin(πx/2)這個例子, 就讓我想到

我原文就是想說如果我沒有搞清楚《多項式不是函數那是什麼》
我就沒辦法回答《f(x) := 0*sin(x)有沒有在R[x]內》

順帶一提, "0*sin(x)沒有在R[x]內"這句話是對的嗎?
原本我認為答案是: 沒有定義, 因為R[x](照V大的構造)的等號是數列相等
而等號只定義在可以比較的對象, 這裡就是指數列間才能說是否相等

但是後來這個解釋有點不合理, 因為我原文的推文討論中有關:

(1) "有沒有在集合內" 牽扯到"屬於"
(2) "屬於" 並非從"等號"去定義的

因此我不能用"不能相比等號" 來說 "0*sin(x)不能討論是否屬於R[x]"
結果這塊問題還是回到原點...

舉個簡單的例子, 不能對Z與Z_2取交集, 無定義, 無法討論x€Z => x€Z_2 or not
但是如果全部化約成ZF集合公設就沒這問題了, 所有建構的都是集合
自然可以推導出Z∩Z_2 = φ

最後的答案還是dependent on系統選擇@@?

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:
: Herstein 定義的多項式相等，其實只要把「definition」拿掉應該就不會讓你混亂。
:
: 他實際上只是把我們怎麼檢查兩個數列是否一樣換句話說而已。
:
: 你可以懷疑這個定義是否與「多項式相同」等價，但這只要證明就好。
:
: 總之他並不是試圖去「另外定義」一個等號，
:
: 就這點來說，確實不適合用定義稱呼。

我反而覺得留著是有必要的耶:

(1) 如果以V大建構的(a,b,c,0,0,0,...)來說, 等於是宣稱這裡的等號採用的是數列等號
(2) 如果是以a+bx+cx^2這種形式來說, 等於是宣稱這裡的等號定義為係數相等

所以我沒有認為他是另外定義, 我認為他是照下面的定義流程, 我才在原文
問說下面這個流程是否人人都可做(不考慮化約成ZF, 單純照直覺的後設語言)

(i) 定義元素(某個form)
(ii) 定義集合(收集全部或是某些form)
(iii) 定義等號: 但是是否要符合等號定義, 等號的定義又是什麼
                如果採取萊布尼茲定義又如何檢驗符合定義

:
:
: 至於所謂「很大的字串集合和很大的等價關係」則是從表示法開始定義多項式，
:
: 這是許多國中生的學習歷程。
:
: 現在課綱所下的定義：由數和文字符號進行加法和乘法運算所構成的算式，稱為多項式。
:
: 既然他講到「加法」和「乘法」，以國中生所學，
:
: 會認為結合律、交換律、分配律等交換環的結構都是自然存在的，
:
: 另外還有「加 -a」就是「減 a」和「減 -a」就是「加 a」。
:
: 上面的結合律等計算規則，就形成字串的等價關係。
:
: 但這個等價關係有點大，光是 1-x 的等價類裡面就塞了很多東西，

對耶... 1-x = 1+(-x) = (-x)+1 = 1+(-1)*x = (-1)*x+1...

:
: 「項數」不好定義、「deg」不好定義、「係數」不好定義，
:
: 很多我們談到多項式的時候愛用的性質、名詞都不好定義。
:
: 雖說不是不能定義，但通常都必須在等價類裡面挑出「最簡」的字串再來談。
:
:
: 更何況等價類太大的時候還有可能出意料之外的岔子，
:
: 雖然多項式應該是遇不到的，但要保證的話好像又要一條定理。
:
: Tensor product 是很有用而且有趣的運算，
:
: 常見的定義就是要把 direct product 拿去當「基底」做成一個超大的 module，
:
: 然後再除掉一個超大的等價關係。
:
: 在看過 R[x] 和 R[y] 運算成 R[x,y] 之後，
:
: 怎麼會想到 Z/2Z 和 Z/3Z 居然算出 0 來呢？
:
: 要是我們除掉的等價關係太大，一個不好可能會得到很小的 quotient set，
:
: 這點須要驗證，但因為等價關係太大所以下手驗證的痛苦指數太高。
:
: 所以最後定義多項式的時候都傾向繞過這個說法。

意思就是等價類定太小的話, 很多"一樣"的東西就會不一樣, 像是1+x=x+1
但是定太大的話, 很多一樣的東西卻對某些定義不well-defined?
即長相不同導致不同的值

:
:
: 至於數學基礎方面我就不是很熟了，
:
: 我大概就是集合論柏拉圖主義者吧！

我可能連化約都懶得化約了, 懶惰的集合論主義者XDDDD
只是突然那麼一剎那覺得不舒服的時候, 就出現一卡車的問題QQ

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推 Vulpix      : 等價關係太大，是指我本來以為應該不一樣的東西，
→ Vulpix      : 居然是同一個。所以就會造成你說的f([0])定成1、f(
→ Vulpix      : [2])定成2，結果兩者矛盾，f定義得很爛。不過這邊
→ Vulpix      : 是說光是要驗證f的定義都是苦工。所以tensor produ
→ Vulpix      : ct的universal property才比他的構造好用。
推 Vulpix      : 我想說的還是：當建構出ordered pair的時候，不用
→ Vulpix      : 額外定義相等。每個數對都只與自己相等。數列也一
→ Vulpix      : 樣，然後a+bx這種多項式不須要再被定義一次相等，
→ Vulpix      : 它只是(a,b,0,0,0,...)的另一個名字，我們心中始終
→ Vulpix      : 想著數列。
推 Vulpix      : 可以，但我只用舉例的就是因為其實沒那麼好表達。
→ Vulpix      : 我舉的例子是三項，那更多項的呢？要寫得乾淨簡潔
→ Vulpix      : 並不容易。然後這個狀況我們有現成的evaluation ho
→ Vulpix      : momorphism可以用，和樂而不為。
→ recorriendo : 所以我說 書上那個R[x]等號的定義 最好當成語法層
→ recorriendo : 的定義 不是語意層的定義
→ recorriendo : 語法層每一個符號 只能對應到語意層的一個關係 這
→ recorriendo : 樣每個句子才有固定的意思
→ recorriendo : 今天你語意層已經委身集合論 那麼你每次寫等號 意
→ recorriendo : 思就得是集合論給你的等於關係
→ recorriendo : 你在語法層對Z自訂等號 如果用你的定義和用別人的
→ recorriendo : 定義能推導的語句不同 那麼你的Z和別人的Z必然得對
→ recorriendo : 應到語意層的不同集合 這樣而已
→ recorriendo : 別人的0對應{}, 1對應{{}}, 2對應{{},{{}}}, ...(其
→ recorriendo : 實這是N的對應 Z還要做equivalence class就不寫了)
→ recorriendo : 你的要嘛有不同的對應 要嘛是矛盾 如此而已
→ xcycl       : 反正知道能夠詮釋到基礎，實際都是在抽象語言操作
→ xcycl       : 細究用什麼系統跟詮釋與在上面做數學關係不大
→ xcycl       : 除非是做邏輯相關的問題，這些在數學影響不大
→ xcycl       : 總之後設語言的討論是確保數學推論可以進行
→ xcycl       : 而不是反過來讓自己綁手綁腳陷在這些細節裡頭
→ recorriendo : Math is the art of omitting details!
推 suhorng     : Type structure is a syntactic discipline for
→ suhorng     : maintaining levels of abstraction! (推文亂入)
推 Vulpix      : 等價關係大，這也是小朋友學四則運算會混亂的原因
→ Vulpix      : 。