Re: [其他] 等號需要定義 & 集合需要等號 嗎?

[LimSinE (r=e^theta)]

補充一些想法。

0. 先來一題暖身題吧
Q: 設a,b為整數，集合S={a,b}，則|S|為何？ (S的個數)
(答案見文末)


1. 在現代的傳統(*好矛盾的修飾)數學，大部分的東西都在ZF集合論底下建構。
譬如用空集合{}和後繼定義自然數，
以tuple除掉適當的equiv. relation定義整數、有理數等等。

這時候因為有axiom of extention，基本上"=" 就是那個 "="，
所以不用(也不能)再另外定義"="。

把所有的一致性問題都推給ZF集合論，然後相信他這樣。

2. 不過ZF集合論和高中(?)學的那種集合又不大一樣。

譬如假如要討論 A={西瓜、蓮霧} 這種集合，那我們也想問「西瓜=蓮霧」嗎？
依照axiom of extention變成要問是不是 「x 屬於 西瓜 <=> x 屬於 蓮霧」
可是我們不知道到底甚麼東西屬於西瓜XD (至少沒有一個公認的定義)

但若想成任何東西都不屬於西瓜、蓮霧，那其實西瓜=蓮霧={}，這好像也不是
高中學的集合論想要的。

換言之，集合論中能完整寫開的東西，其實都是一堆{、,和}組成的字串XD

3. 但事實上人在想數學並不是這樣想的

譬如在受到集合論的荼毒之前，算1+1=2的時候都是用心算XD不是先翻譯成集合論操作。

一般而言，依循一套符號的運算法則來進行演算，"="也是其中的規則之一。

對於自然數可能太簡單，我們來看一個「分數的加減」

1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1

這個過程當中，就至少用到了
(i) 分數是一種寫成a/b的東西
(ii) 對於c=/=0，ac/bc = a/b
(iii) 兩分數在分母相同時，a/b + c/b 可以化成單項 (a+c)/b

當然，這是小學程度，在抽象代數中討論quotient field的時候，不會搞成這樣，
但這其實也是一種運算規則

在這裡，沒有集合論翻譯，沒有等價類，就是一些自訂的符號、規則(包含"=")

那這時問題來了，你怎麼知道這個運算規則「沒有問題」
很多初學者很喜歡把(iii)改成(iii')：a/b + c/d 可以化成 (a+c)/(b+d)

然後你就發現 1/2 + 1/2 = 2/4 = 1/2，各種光怪陸離的事情，怎麼算都對XD
就是因為沒有一致性。

4. 早期數學確實是這樣搞的，像是原Po的多項式也是一個例子。

反正多項式就是a0+a1x+a2x^2+...+anx^n這種東西，然後有一些運算規則。

但是每一次定義一些符號規則，上述一致性的問題就越來越大。

最後ZF集合論的發明，數學家發現可以把幾乎所有的問題都丟進去，很方便。

問題解決了嗎？當然沒有！因為ZF集合論的一致性一樣證不出來。

但是卻可以很狡猾的把無窮無盡個一致性問題用一個更大的問題通通包起來
然後就相信他，接受他(儼然變成宗教了，問題全部推給神，然後相信神Orz)

5. 要是覺得看這種符號規則覺得不舒服，而想要用集合論建構來操作，似乎只要有耐心也不是
不可以。然而實際上還真的會遇到困難。

我發現沒人舉這個例子，但是很重要，那就是

R (實數體)

實數體可以用很多種方法建構

你用你的Dedekind cut，他用他的Cauchy sequence，彼此都定義了等價的完備有序體。

在集合論裡面，你的實數1和他的實數1不相等(dedekind cut怎麼可能和sequence相等)

更要命的是，不管是Dedekind cut還是Cauchy sequence[的等價類]，都很難全部寫開。

所以實務上都是用比較接近符號規則的方法操作。

那些規則可能包含類似

(i) 對所有有理數 q ，相同的符號也表示一個實數
(ii) 對於有上界的非空實數集A，有一個實數= sup A (譬如定積分的定義)
(iii) 對於Cauchy sequence {an}，有一個實數= lim an
(iv) a=b <=> a不大於b且a不小於b
(v) a=b <=> 若對所有e>0 |a-b|<e

其實就在分析中常用的證明手法，你要證明兩個實數a，b相等的時候不會把a和b想成
某種等價類集合然後證明互相包含吧...

(完整的"="定義 is left as an exercise XD)

6.
到這裡可以說明一下，甚麼是現代的傳統數學XD
之所以現代，是因為早期沒有集合論
之所以是傳統，是因為現在還有針對ZF集合論以外的數學基礎相關研究
(前面很多板友提到了)


7.暖身題的解答
1, if a=b
2, otherwise

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                            中  最  連  緊  閉  開
                            值  大  通  緻  集  集
                            在  最  到  映  返  返
                            中  小  連  緊  閉  開
                            間  值  通  緻  集  集
                            。  ，  。  ，  ；  ，

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.85.41.140 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1637674379.A.A29.html
※ 編輯: LimSinE (219.85.41.140 臺灣), 11/23/2021 21:37:12
推 Vulpix      : Dedekind cut應該還算好寫吧？√2可以用負有理數和
→ Vulpix      : 平方後比2小的有理數。π可以用小於某一正多邊形邊
→ Vulpix      : 長與中心頂點連線長的比值的有理數來寫。當然是說c
→ Vulpix      : ase by case一個一個寫的意思就是了。
推 znmkhxrw    : (1) 我其實很常用S:={爸爸, 媽媽, 0, x^2}舉例XD,
→ znmkhxrw    :  然後問他們相等與否, 然後自答說因為無定義前面兩
→ znmkhxrw    : 者所以整體無定義, 但是往上追溯時就要元素的定義,
→ znmkhxrw    :  集合的定義...越來越發散後, 就真的全部丟給ZF然
→ znmkhxrw    : 後我相信ZF我驕傲XDD
推 znmkhxrw    : (2) 關於"現代的傳統數學VS暖身題的答案", 給我一
→ znmkhxrw    : 種感覺: 就不用管整數與等號的嚴格定義, 反正大家
→ znmkhxrw    : 都知道整數是1, 2, 3...., 然後1!=2, 1=1, 而反正背
→ znmkhxrw    : 後有ZF公設或是其他數學家在撐腰, 放心的算下去就
→ znmkhxrw    : 對了?
推 suhorng     : 是我記錯了什麼嗎.. 忽略你寫的 S 的話, 集合的定義
→ suhorng     : 跟元素的定義都沒什麼問題吧? 而你寫的是一個後設的
→ suhorng     : , 自然語言的文字而不是集合論的敘述
→ suhorng     : 這篇將後設/目標語言區分得很清楚 #1HRpMZUa (Math)