[代數] 問一題模考的多項式

[TimcApple (肥鵝)]

今年數A的模考題，沒有原題，以下是簡述

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已知 a 是整數

且 x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式

試求 a

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本題是單選，因此刪一刪答案就出來了

但我還是有幾個問題，有點抽象不好意思


Q1. 雖然可能的 a 只有一個，其它都不可能
但要怎麼確定這個 a 真的是答案？

Q2. 有沒有一個定理類似以下敘述，或是反例
「設整係數多項式 f, g, 會有一個正整數 N = N(f, g) 使得
若有 N 個相異 c 滿足 g(c) | f(c), 則 g(x) | f(x) in Q[x]」
由於有 2 | n(n+1) 的情況，整除只能在有理數多項式內

Q3. 出題老師是怎麼知道，或是從哪裡知道
x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式的？



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推 RicciCurvatu: Q1 確定 a後解出兩根 帶入左式就知道了 Q3同理
呃 兩根是 (1/2)(1+sqrt(7) i) 我不覺得代入是好方法XD
推 RicciCurvatu: 第二題你的敘述有點問題 g(x)|f(x)  in Q(x)  但 g
→ RicciCurvatu: ＝1 f＝1/2呢？顯然你能考慮Z(x)的整除 這樣的話你
→ RicciCurvatu: 的敘述就是對的 顯然你只要c取的夠多 多項式fg就可
→ RicciCurvatu: 以被唯一決定
g(c) | f(c) 是 in Z, 但 g(x) | f(x) 是 in Q[x]
或者我應該寫 存在正整數 M 使得 g(x) | M f(x) in Z[x]
我目前想一想 方向有兩個
(1) 有沒有可能 g(x) 不整除 M f(x)
但是有無限多個 c 滿足 g(c) | f(c)
(2) N 能被控制到多小的範圍
推 bigbigloser : 可以google關鍵字： ptt[代數] 多項式整除，之前有
→ bigbigloser : 討論過，我覺得模擬考出這個太難了XD，重點是要想到
→ bigbigloser : 可以用長除法證明x^13+x+90除以x^2-x+a後也是整係數
→ bigbigloser : 多項式。
對了 其實題目有說 Q(x) 是整係數 是我沒打上來
這題難度很弔詭 老師都知道這題超出高中程度
但高中生看看詳解 覺得看得懂
就以為這題不難 只是考試沒想到
一般高中生對整數相關題目的難度沒有認知
大抵都停在看詳解看的懂 但自己寫不出來的程度
※ 編輯: TimcApple (101.10.106.171 臺灣), 12/02/2021 02:50:07
→ RicciCurvatu: 沒說要用手算吧？ 就算最笨的長除法用電腦做也是兩
→ RicciCurvatu: 秒的是事 出題跟解題的邏輯不一樣  另外有沒有超範
→ RicciCurvatu: 圍我覺得還是要看選項 這題應該是要考牛頓堪根？
推 tzhau       : 108新課綱已經沒有牛頓一次因式檢驗法。
→ tzhau       : 按課綱精神我猜這題只是要考除法原理，和代數字看因
→ tzhau       : 數這件事
推 GaussQQ     : 北七課綱
推 Vulpix      : 選擇題的公設就是一定有答案，所以這題還是要用刪
→ Vulpix      : 去法，否則除法除下去很花時間。
→ Vulpix      : Q2換到Z[x]應該會比較順吧？反正有Gauss lemma在。
→ Sfly        : Q3 考古發現的
推 Vulpix      : 比較快一點的話就是用同餘降deg。