推 mmxmmxmmx : 感謝這麼詳盡的回覆，看了後覺得挺難的需要點時間 12/10 10:57
→ mmxmmxmmx : 思考這問題，但還是謝謝你的回答 12/10 10:57
※ 引述《mmxmmxmmx (***********先生)》之銘言：
: 題目如下網址連結
: https://imgur.com/a/h8LLs8Y
: 想請問如何算出狗跟甲還乙是在幾秒相互遇見,並且狗與甲.乙每次
: 相遇是在幾公尺直到甲乙相遇？
: 如果用200*4/7=114 2/7 跟 200*3/7=85 5/7
: 好像又不太對,雖然我知道題目的答案算法是200/5=40 200-40=160是答案
: 但去求各自的位置卻算不出來,想請問大家是否有其他算法可以算出時間跟
: 各自當時的位置？
要算位置就徹底一點, 來模仿當年大師馮紐曼的無窮等比級數做法吧:
(先說一下: 以下的運算因為設了個未知數, 至少是小六到國中範圍
要純數字運算的話很容易因為分數運算過多無法看到比例關係
而最後一步的無窮等比級數則是高中內容
也就是這題目出在小學資優題就是要學生不要傻傻算距離去找其他關係
－－而這一點題目本身也有暗示了: 「在這段時間內這隻狗共跑了多少公尺？」)
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把狗從甲身邊跑出去碰到乙再回來碰到甲叫一輪
假設在一輪的開始甲乙相距 x
首先先做狗和乙的相向, 距離 x 速度和 7 所以碰面時間 x/7
在這段時間內狗和甲是同向, 拉開的距離是時間乘速度差 x/7 * (4-2) = 2x/7
然後狗回頭, 剛才這段距離狗和甲相向, 距離 2x/7 速度和 6 所以碰面時間 x/21
這段時間內狗和乙同向, 拉開的距離是 x/21 * (4-3) = x/21, 這就是下一輪的甲乙距離
因此, 每一輪一去一返總時間是 x/7 + x/21 = 4x/21, 狗跑距離 4x/21 * 4 = 16x/21
因為下一輪開始時甲乙距離是這一輪開始時的 1/21
後面的所有計算全部都縮小成 1/21
然後再下一輪再縮小成 1/21, 一直下去
於是最後碰頭時, 狗跑的距離是
(16/21)*200 + (16/21)*(200/21) + (16/21)*(200/(21^2)) + ...
這是一個無窮等比級數 (因為總是有下一輪的甲乙距離, 會有無限多輪距離越來越短)
其和是 [(16/21)*200] / (1 - 1/21) = (3200/21) / (20/21) = 160 ← 為所求
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位置的話利用上面的資訊可以用兩種方式算:
第一輪, x 代 200
狗和乙相遇時花了 200/7 秒
從狗看, 狗走了 (200/7) * 4 = 800/7 公尺
或者從乙看, 乙走了 (200/7) * 3 = 600/7 公尺
這位置離另一端 200 - 600/7 = 800/7 公尺
這個時候甲的位置在 (200/7) * 2 = 400/7 公尺
然後回頭狗和甲相遇花了 200/21 秒
狗走了 (200/21) * 4 = 800/21 公尺, 所以位置離甲出發點 800/7 - 800/21 = 1600/21
或者看甲走了 (200/21) * 2 = 400/21 公尺, 位置在 400/7 + 400/21 = 1600/21 公尺
這時乙又走了 (200/21) * 3 = 200/7 公尺, 位置在 800/7 - 200/7 = 600/7 公尺
這時甲乙相距 600/7 - 1600/21 = 200/21 正是上面算得的第一輪初始距離乘以 1/21
後續輪的距離可以從這裡的計算結果繼續堆上去, 但就仍然是一堆分數計算
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這題其實還滿好心的, 與狗的兩種速度和 7 跟 6 都不是 200 的因數
也就是說如果真的要像上面這樣硬算, 就算不論等比級數也會因為一堆分數計算變繁複
因此會把學生的思考方向從認真算出會合距離這一點推開
相對的, 簡單做法的關鍵兩人的速度和 5 則是 200 的因數
所以答案是非常簡單漂亮的數字
加上前面提過的思路暗示, 個人覺得算是個不錯的引導思考題
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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；
也有人喜歡邊聽歌邊打字。
但是，我有個請求，
選字的時候請專心好嗎？
-- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白
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