[線代] 線性獨立的問題

[harry921129 (哈利~~)]

        x' y'  z'  u'  是全都不為零的整數

        (a1,a2,a3,a4)  (b1,b2,b3,b4) (c1,c2,c3,c4)
        是兩兩相異的非零的整數向量


        且  a1x'+a2y'+a3z'+a4u'=0
            b1x'+b2y'+b3z'+b4u'=0
            c1x'+c2y'+c3z'+c4u'=0

        試問 (a1,a2,a3,a4)  (b1,b2,b3,b4) (c1,c2,c3,c4) 此三個向量線性獨立嗎?

        如果是要如何證明呢 thx~~~

 ### 這不是甚麼書本上或考試的題目 是我解題目時所突發奇想的

     三個向量(1,0,3,-3) (-2,1,1,-1) (-3,0,2,-1) 對於x=3  y=7, z=10, u=11

    都有 1*3+0*7+3*10-3*11=0
         -2*3+1*7+1*10-1*11=0
         -3*3+0*7+2*10-1*11=0

    則此三個向量剛好線性獨立  我想要知道是否有上述條件的向量都會線性獨立?


###  剛有一些想法 但是不確定(或許不太對)

      a1 a2 a3 a4     x'    0
   [  b1 b2 b3 b4 ] [ y'] =[0]
      c1 c2 c3 c4     z'    0
                      u'    0

        因為x' y'  z'  u'  是全都不為零的整數

        所以利用消去法 可得知此矩陣 rank=3  (這裡我就不確定 不知對不對)

        利用矩陣A    rank(A^T)=rank(A)=3

        所以
               a1 b1 c1
        A^T = [a2 b2 c2]   此矩陣rank=3 所以此三向量線性獨立
               a3 b3 c3
               a4 b4 c4

         不知對不對 有無反例嗎?








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推 a547808588  : 你wiki線性獨立，看例子3 ，就有說怎麼做了
推 sunev       : 題目有誤？
※ 編輯: harry921129 (122.118.145.230 臺灣), 12/14/2021 21:11:50
※ 編輯: harry921129 (122.118.145.230 臺灣), 12/14/2021 21:29:47
推 LPH66       : 你的條件相當於 a b c 三向量皆與 (x',y',z',u')
→ LPH66       : 內積為 0, 由此你容易能找到一組不線性獨立的三向量
推 LPH66       : 你的後一個問題是把變數弄反了, 你的變數是 a b c
→ LPH66       : x y z u 是已知數, 因此你不能套用它們是變數的結論
→ LPH66       : 另外你也用錯東西了: 你式子右邊是零向量
→ LPH66       : 那個比較像是在討論 kernel 和 nullity 的式子
→ LPH66       : 和 rank 正好是互相反過來的東西