[分析] 同軌跡與起終點的Jordan曲線是等價

[znmkhxrw (QQ)]

定義:

<Def1> A path f is a continuous function f:[a,b]→R^n

<Def2> Two paths f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n are equivalent
       if there exists continuous, strictly monotonic and onto
          u:[a,b]→[c,d] s.t. f=g。u

<Def3> Two paths f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n have the same trajectory
       if range of f = range of g

<Def4> A Jordan curve is a path f:[a,b]→R^n
       s.t. f(a)=f(b) and f is 1-1 on [a,b)

已知:

<Thm1> Let f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n be two 1-1 paths
       Then f is equivalent to g <=> f and g have the same trajectory

想問:

<Thm2> Let f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n be two Jordan curves
       s.t. f(a)=f(b)=g(c)=g(d)
       Then f is equivalent to g <=> f and g have the same trajectory
       (想證<=, 另外一個方向是trivial)

想法:(令共同的起終點為p, 共同的軌跡為J)

1. 因為不是全域1-1, 所以無法直接使用<Thm1>的結果, 也無法直接複製<Thm1>的證明
2. 想把[a,b]切成[a,x]∪[x,b], [c,d]切成[c,y]∪[y,d]分成兩段引用<Thm1>
3. 令F:=f|_(a,b), G:=g|_(c,d), 所以F,G是1-1且onto J-{p}
4. 任取x€(a,b), 且令 y:= G^-1(F(x))
5. 想證明: either (1) or (2) happens
           (1) 若存在x_1€(a,x) 使得G^-1(F(x_1))€(c,y)
               則f[a,x] = g[c,y] & f[x,b] = g[y,d]
           (2) 若存在x_1€(a,x) 使得G^-1(F(x_1))€(y,d)
               則f[a,x] = g[y,d] & f[x,b] = g[c,y]
6. 對5.就能引用<Thm1>去把兩段連續單調函數接起來

卡住的點:

證不了5.

想了好幾天, 覺得應該很簡單, 應該用connected, compact, continuous這些性質兜出來
我猜關鍵是證明F^-1與G^-1是連續函數然後去觀察G^-1(F[x_1,x]), 但是也不知道怎麼證
因為連續函數的反函數不一定是連續的, 除非定義域是緊緻的就能確保
而這裡F與G的定義域都不是緊緻集合

還是說我證不出來是因為<Thm2>根本不成立...存在奇形怪狀的反例Jordan曲線?

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謝謝幫忙!

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→ njru81l     : def2 R^n,f,g的函數值完全沒用到，漏敘述了
對~漏了 謝謝

推 Vulpix      : s.t. f=g。u    本來還在想這到底哪裡equiv.
→ Vulpix      : 考慮[a_n,b_n],a<a_n<b_n<b,a_n遞減到a,b_n遞增到b
→ Vulpix      : 這樣呢？至少G^-1現在是連續的。
V大是默認 F^-1:J-{p}→(a,b) 與 G^-1:J-{p}→(c,d) 都是連續的?
這部分我也不知道怎麼證@@

推 Vulpix      : 先限制在[a_n,b_n]上喔。
這感覺會遇到我"5."說的問題耶
f|_[a_n,b_n] :[a_n,b_n] → f[a_n,b_n] 雖然是homeomorphism
但是現在要用G^-1把f[a_n,b_n]打回來的話:
(1) 怎麼確定 G^-1|_f[a_n,b_n] (G^-1限制在f[a_n,b_n]) 是連續的?
(2) 如果G^-1連續的, 藉由f[a_n,b_n]是連通且緊緻的, 就能知道G^-1(f[a_n,b_n])
    是閉區間

也就是說, "5."就是想讓f限制在[a,x], 跟V大你說的[a_n,b_n]差不多
但是限制完之後我就因為沒有G^-1的連續性把f[a,x]打回閉區間QQ
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 12/16/2021 01:33:54
推 Vulpix      : G^-1(緊緻集f[a_n,_b_n])是閉的，然後又有界，所以
→ Vulpix      : 緊緻。這樣G在G^-1(f[a_n,b_n])上的反函數就連續了
→ Vulpix      : 定理我應該沒記錯吧：φ:X→Y bijects, X compact,
→ Vulpix      : then φ^-1 is continuous. (漏了 φ conti.)
V大我還是覺得怪怪的耶, 詳細如下:

對任何a<a_n<b_n<b, 令K:=f[a_n,b_n], 則K緊緻且K被J-{p}包含
令S:=G^-1(K)
則: (1) G^-1|_K : K→S 是1-1 & onto
    (2) G|_S    : S→K 是1-1 & onto & continuous
    (3) G|_S跟G^-1|_K互為反函數

接著我們發現: (a) 若S是緊緻的, 則藉由你說的那個定理可以得到G^-1|_K是連續的
              (b) 若G^-1|_K是連續的, 則S是緊緻且連通, 所以S是閉區間

也就是說, S是緊緻<=>G^-1|_K是連續
而問題就在於目前兩個方向的前提都未知, 只要一方前提成立那就好辦了

推 Vulpix      : K緊緻=>K閉。因為G連續，所以S閉。又因為S有界，所
→ Vulpix      : 以S緊緻。
還是怪怪的耶, G:(c,d)→J-{p} 是連續, K被J-{p}包含且緊緻, 因此K是J-{p}的閉集合
藉由G的連續性我們知道S is closed in (c,d), 並無法推出closed in R
(要closed in R且bounded才能推得compact)

推 Vulpix      : 所以問題還是卡在p點上，那弄個在p附近瘋狂試探的J
→ Vulpix      : 如何？
嗨V大~解決啦! 確實要解決p點附近的問題, 概述如下:

(1) 想證G^-1:J-{p}→(c,d)是連續的(F^-1同理)
    (一般來說, 任何G:(c,d)→M如果是1-1, onto連續, 那G^-1不一定連續
     但之後會看到本題的G是由g來的, 而g在[a,b) 1-1以及g(c)=g(d)卻能讓G^-1連續!)

    pf: 對q€J-{p}, 想證明存在δ>0使得q€interior of G[c+δ,d-δ], say int(K)
        先假設成立, 則因K緊緻, 有G|_[c+δ,d-δ]:[c+δ,d-δ]→K 是homeomorphism
        也就是說, G^-1|_K在q連續
        接著因為q€int(K), 因此G^-1在q連續

        然後就是證明為何存在δ>0使得q€int(K)
        假設不存在, 則對於任何δ>0, q都不屬於int(K)
        而G^-1(q)€(c,d), 所以取夠小的δ就有q€K
        因此得到q€bd(K), 所以藉由邊界的定義, 取同樣的δ>0
        我們知道存在s€K^c使得d(s,q)<δ

        接著注意s=G(x_δ) for some x_δ€(c,c+δ)∪(d-δ, d)
        因此有d(G(x_δ),q)<δ--(*)

        然後令δ=1/n, a_n:=x_(1/n)€(c,c+1/n)∪(d-1/n, d)
        則一定(c,c+1/n)或是(d-1/n, d)存在無限多個a_n, say (c,c+1/n)
        因此取子列b_k:=a_(n_k)€(c,c+1/n_k), 藉由夾擠我們有 b_k→c
        接著(*)告訴我們 G(b_k)→q, 因此g(b_k)→q
        再來因為g的連續性我們有g(c) = q = G(G^-1(q)) = g(G^-1(q))
        最後因為g在[c,d) 1-1而G^-1(q)€(c,d), 因此c = G^-1(q), 矛盾!

(2) U:=G^-1。F: (a,b)→(c,d)是1-1, onto, continuous的所以嚴格單調
    之後再把u擴充左右兩端點即可, say u(因為嚴格單調所以左右極限存在)
    如此便得到f = g。u

推 PPguest     : 方便講一下Thm1大概是怎麼證的嗎?目前沒什麼靈感
這在Apostol第六章最後章節有唷, 簡單說就是令u:=f^-1。g或是g^-1。f即可
由V大的定理(Apostol也有)可知u是連續的, 而易知u是1-1且onto from [a,b] to [c,d]
因此又可藉由初微的分析得到u是嚴格單調的

→ PPguest     : 第5點感覺跟證Jordan curve只會有兩種"方向"有點像
是的! 所以關鍵在於量化與定義問題XDD
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.117.32 臺灣), 12/18/2021 02:36:28