Re: [分析] 瑕積分極限決定L^2的傅立葉轉換

[LimSinE (r=e^theta)]

與其問是不是trivial，倒不如說是routine
換言之，這些步驟看似繁瑣，但其實每一步都是在邏輯上非常直接的。

我們可以一面回顧數學上嚴謹定義Fourier Transform進化史，一面回答這個問題

Step 1.定義 F{f}(y) = 積分(R) f(x) exp(2piixy) dx
這個定義式(至少表面上)只對f in L^1 有定義。

此時積分絕對收斂，基本上瑕積分怎麼算都沒關係，我們還得到
F：L^1 -> L^infinity為有界算子(連續映射)。

Step 2. 然而F真正厲害的地方，是在它可以定義在L^2上，卻未必能用Step 1的積分式
得到。

因此需要迂迴定義，先證明對於 f in L^1交集L^2

總有 積分(R) |f(x)|^2 dx = 積分(R) | F{f}(y)|^2 dy

得到F：L^1交集L^2 -> L^2 為連續，
再利用L^1交集L^2 dense in L^2 唯一延拓到有界算子F：L^2 -> L^2。

既然定義就這麼迂迴，實際計算一個L^2(卻非L^1)函數的Fourier Transform當然也
不會很直接。
我們必須
1. 找fn -> f in L^2, 其中fn in L^1交集L^2
2. 計算F{fn}
3. 求出F{fn} 在 L^2之極限g(必存在)，答案即是F{f}

在數學書上，通常這部證明都很隨意說，反正simple function 在L^1交集L^2裡啊
然後simple function dense in L^2...
問題是實務上很難控制逼近f的simple function列，更遑論他們的Fourier transform

[這根本像是用黎曼和去算黎曼積分]

比較實際的做法就是用瑕積分的觀點，以本題的例子，f(x)在有限範圍內根本有界，故取
fn(x) = f(x) if |x|<=n
        0    otherwise
那fn就是滿足上述條件1.，而F{fn}也就是積分([-n,n]) ...的結果，於是完成了2.。

最後3.，所謂的「工數書」也確實計算了F{fn}的極限h，但卻是逐點極限(或a.e.)
表面上和真正所要的L^2極限g不同。

幸好兩者都可化為更弱的converge in measure，故有h=g=F{f} a.e. ，解決了這個問題。

以上去除廢話，整理重點，就得到原Po提問的「會不會太繞路的證明」


問題解決了，但Fourier進化故事還沒有完。(以下簡述，詳情請自行查閱)

Step 3. 證明F：S→S為連續
其中S為Schwartz space。

Schwartz space裡面都是超好的函數，本身都是L^1，照道理應該早在Step 1.就完成了。
這一步最主要是要證明連續性，然而用意一時看不出來。

Step 4. 將F延拓至S'→S'，S'=S的對偶空間，又稱tempered distribution。

利用f,g in L^2時有 積分(R) F{f}(t)g(t)dt = 積分(R) f(t)F{g}(t) dt
將L^2函數與它的dual等同

我們終於看到Step 3欲擒故縱的詭計了，將上式的g限縮在S中時，可擴大f的適用(定義)
範圍到S'。
而S'就包含了惡名昭彰(?)的delta function，以及它的各階導數，基本上工數看得到
的函數都逃不出S'。

一樣的，既然定義是用詭計，實際計算時自然也不脫這個詭計。
通常有一個方向比較好算，另一個方向使用Fourier inversion來推理。
不妨留做習題



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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.105.54.161 (臺灣)
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推 Vulpix      : 推深入淺出介紹Fourier！
推 znmkhxrw    : 謝謝L大詳細的介紹, 很舒服! 另外你文末說的"留做
→ znmkhxrw    : 習題"是什麼意思呢? 是指咱i以用inversion來用好算
推 znmkhxrw    : 之前思考時遇到一個問題是, L2的FT是迂迴定義法, IF
→ znmkhxrw    : T是在證明FT是雙射後才定義出IFT是其反函數, 所以如
→ znmkhxrw    : 果今天你採用迂迴定義法去定義IFT的話, 那還需要去
→ znmkhxrw    : 證明這兩種IFT是相等的
推 znmkhxrw    : 所以你說的留做習題是指要先證明這兩種IFT是一樣的
→ znmkhxrw    : 才能用好算的一邊去推得不好算的一邊嗎
→ znmkhxrw    : P.S. 推文第1,2行有少資料, 幫略過
之所以留成習題是因為這邊其實一些沒那麼直接的事情...

譬如說IFT，基本上IFT的定法和FT一樣，只是i換成-i，所以也是可以照相同步驟延拓定義
而只有在L^2、S、S'上IFT和FT能互為反變換(定義域和對應域相同)

互為反變換，也就是IFT{FT{f}}=f這件事，嚴謹的話就要花點力氣證
(注意到i和-i的對稱性，所以FT{IFT{g}}=g同理)

但據我所知，F：L^2→L^2是雙射，尤其是滿射應該證明上述反變換關係才能得到吧。
(單射還可以用保距性)
所以應該沒有先用雙射造出一種IFT，積分+迂迴定出另一種，再來證明相等。

其他像在Step 4裡面
delta function的變換雖然簡單，但反過來計算1的變換，卻相當於IFT反變換關係
其實也很合理
distribution -> function 這個方向比較好算(畢竟算出來是一個好好的函數)
反過來要算出distribution就比較麻煩，幸好有反變換幫忙。

不過，也不是總有一邊好算，譬如Dirac comb的變換還是Dirac comb，
兩邊都一樣難(應該說兩邊根本一樣)。這和Possion summation formula有關。

對於distribution的情形，能不能把工數常見計算手法依照這篇的邏輯架構嚴謹說明
就是我想的習題。

推 alan23273850: 這篇好猛 大大也可以學我寫書
推 HeterCompute: 邏輯脈絡好清楚!
※ 編輯: LimSinE (219.85.157.150 臺灣), 01/06/2022 23:24:59
推 znmkhxrw    : 謝謝L大的回覆, 我是看Zygmund第二版的第13章的
→ znmkhxrw    : 他通篇都沒提到"反傅立葉轉換"的定義, 只有定義
→ znmkhxrw    : 傅立葉變換的反函數, 即你符號的F跟F^-1
→ znmkhxrw    : 而他確實有證明F:L^2→L^2是雙射
→ znmkhxrw    : 而如果照L大你說的流程, FT跟IFT都是用迂迴定義法
→ znmkhxrw    : 去定義的話, 那就有FT:L^2→L^2, IFT:L^2→L^2都是
→ znmkhxrw    : 雙射, 只是我不知道怎麼證明FT^-1 = IFT
→ znmkhxrw    : 還是你的意思是, 我參考他怎麼證"雙射"的步驟就能
→ znmkhxrw    : 解決我的疑惑?
推 Vulpix      : 抓一個dense subset出來直接算，然後by continuity
→ Vulpix      : ？是說，這問題不就是上面的「花點力氣證」嗎？
推 znmkhxrw    : V大你說L大的"花點力氣證"的部分確實就是我想證的
→ znmkhxrw    : 但是L大下面接著說「F：L^2→L^2是雙射，尤其是滿射
→ znmkhxrw    : 應該證明上述反變換關係才能得到吧。」
→ znmkhxrw    : 我把這句話翻譯成「F 是onto 要用FT^-1 = IFT證」
→ znmkhxrw    : 所以我才會覺得奇怪(我敘述的FT都是L大的F)
→ znmkhxrw    : 因為Zygmund證FT雙射時通篇沒有定義IFT
→ znmkhxrw    : 所以我才問「證FT雙射的技巧 等價於 FT^-1 = IFT」
推 znmkhxrw    :                           ^是否
推 Vulpix      : Zygmund的證明是13.51，中間用了F(x)=FT[f](-x)，
→ Vulpix      : 先不管後面繞路的事，這就是IFT啊。(把i換成-i)
推 Vulpix      : 雖然可以利用單射先造一個值域上的IFT然後努力延拓
→ Vulpix      : ，但我不認為這樣比較方便。
推 alan23273850: 哇哇哇 抓dense集再根據cont唯一延展到全域是臺大
→ alan23273850: 數學本學期分析導論習題之一呢