Re: [微積] 三重積分求體積

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《mathYU (迷途羔羊)》之銘言：
: https://i.imgur.com/c1TRTUl.jpg
: 小弟我不知道積分的上下界範圍怎麼求
:

直接用球坐標好算一點。

其他常用坐標（直角坐標和柱坐標）都要分段算，

其實這也不意外，因為看起來有些坐標就是有兩種下限，

例如 x 就要在 √(4-y^2-z^2) 以上，也要在 √(y^2+z^2-1) 以上。

但是球坐標剛好可以避開這個問題。

以 x 軸為軸建立球坐標。

那三個變數的上下限分別是：

  向徑（半徑）：2 ~ 3，這從第一個不等式可以看出來。

  緯度：0.5*arccos(4/r^2) ~ 0.5*arccos(1/r^2)，來自第二個不等式。

  經度：一圈，常用 0 ~ 2π。

至於 x≧0，在緯度那邊已經用掉了。

最後積分都滿快的，質量是 15π/4。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1641490351.A.11D.html
推 mathYU      : 想問緯度（r分量）的範圍是怎麼求的
緯度是θ（我經度慣用φ）。

我先把坐標變換寫完整：

        x = r * cosθ
        y = r * sinθ * cosφ
        z = r * sinθ * sinφ

然後第二個不等式就變成 1≦r^2 * (cos^2 θ - sin^2 θ)≦4，

也就是 1/r^2≦cos2θ≦4/r^2。

然後因為 x≧0，所以 0≦2θ≦π，才得到 cos 遞減。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 01/07/2022 02:52:40
推 mathYU      : 了解了，謝謝
推 mathYU      : https://i.imgur.com/TbFa3xL.jpg
推 mathYU      : 上面是我寫的過程，我的θ上下界有寫錯嗎，你上面說
對，寫錯了。

→ mathYU      : 0≦2θ≦π但是這樣第二個不等式條件就沒用到了
cos2θ 遞減，所以 arccos(4/r^2)≦2θ≦arccos(1/r^2)。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 01/07/2022 15:01:34
推 mathYU      : 我把積分順序調換之後算出15pi/4了，感謝!