Re: [微積] 黎曼和取極限難題！

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《mars0804 (風中一枝草)》之銘言：
: https://i.imgur.com/N1GfAaY.jpg
: 想詢問這兩題如何使用黎曼和計算？
: 代入後會發現並不是特殊級數可代公式，
: 請問能怎麼解？

首先，黎曼和不是只有「上和」、「下和」。

（至少這兩題都是閉區間上的連續函數，所以上下和都是黎曼和。）

更何況用上下和算積分的方式是所謂的達布積分，並非黎曼積分的本意。


黎曼和裡面有兩種可以頗隨便的東西：分割、每一段的代表點。

（即使是達布的上下和在分割上也一樣自由。）

我猜你應該是用了等距分割，然後代表點也直接用左端點或右端點。

這樣剛好是一些上下和，但這些上下和很難算出精確值。

所以不是改變分割就是改變代表，或者全都改。


以下都用第一題當例子。

這類型的題目可以選用等比分割。

把 1 到 2 的這段區間，用 2^(1/n)、2^(2/n)、2^(3/n) 等數字切開。

代表的話，可以繼續用左右端點去寫，都是一些等比級數，算完取極限就好。

用左端點得到上和 = Σ_{k=1}^{n} {2^(k/n)-2^[(k-1)/n]}/2^(3k/n)

用右端點得到下和 = Σ_{k=1}^{n} {2^(k/n)-2^[(k-1)/n]}/2^[3(k-1)/n]


或者不對分割設限。

用 1 = x_0 < x_1 < x_2 < x_3 < ... < x_n = 2 來分割。

在每一段 x_{k-1} 和 x_k 之間，

以 [2*x_{k-1}^2*x_k^2/(x_{k-1}+x_k)]^(1/3) 為代表。

驗證他真的介於 x_{k-1} 和 x_k 之間是必須的。

驗證完之後，剩下的加法就只是一個分項對消的過程而已。

而且取極限的過程可以免去，因為這樣只會算出 3/8 而已。


黎曼和的定義之所以寫得那麼難用，

是因為對於不同的被積函數，有不同的好用分割和好用代表。

而黎曼和的定義為了兼容並蓄，就長得不好算了。

可是一旦知道他背後的想法，就知道黎曼和在計算上的意義：

1. 先用其他各種定理確認黎曼積分存在。例如：閉區間上的連續函數可積分。

2. 「挑」一些黎曼和來算，而且不管最長段多小都要有挑到對應的分割方式。

3. 把黎曼和的極限算出來。

因為第二步驟是用挑的，所以這些黎曼和應該都會很好算。

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推 alan23273850: 詳細給推，我記得 Rudin 第六章所介紹的積分應該全
→ alan23273850: 部都是達布積分，不知為何課本沒強調這件事？
→ Vulpix      : 事實上就是等價的，隨便定義一個然後用TFAE也行。
推 alan23273850: 記得黎曼積分和達布積分不等價，其中一個比較強？
→ Vulpix      : 你記錯了。
推 znmkhxrw    : ∫fdα的RS積分, 若f有界且α遞增則黎曼達布等價
→ Vulpix      : 先只考慮α(x)=x。f無界的時候黎曼和、上下和會一起
→ Vulpix      : 壞掉吧。啊，上下和會先壞掉，黎曼和在算極限的時候
→ Vulpix      : 應該也會跟著壞掉。
應該說，我談 Riemann integral 的時候，不會預設在討論 RS。
特別是這種看起來像高中基本題的。
我知道 RS 和 DS 是有條件等價，但現在只先考慮 R 和 D 之間的異同。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 01/26/2022 02:19:58