[中學] 一題 108課綱 學測數學B 參考試卷 的題目

[haveknown (noname)]

想問的是 108課綱學測數學B 參考試卷 多選13 的 選項 (3)

找了一些詳解，覺得都不是很嚴謹，所以來請教大家，題目如下：
https://i.imgur.com/4LPIzuf.png

1.  官方詳解
https://i.imgur.com/uX5UBXg.png
想法：
只是算出前3月的補種數量，但只看幾個數字就說會遞減，應該不能這樣吧


2.  龍騰詳解
https://i.imgur.com/ZDSsT2p.png
想法：
說存活率超過50%，所以補種數量會越來越少，這個推論我覺得不對

若簡化問題，假設不管補種或存活了幾個月，存活率都是80%，
依此規則，補種數量不會改變

比如第1個月底，
存活一月有800，補種有200
則第2個月底，補種的有
800 ×0.2 + 200 ×0.2 = 200 不變

當然存活率不是都是80%，還有90%與100%，但並不能說超過50%，補種數量就會越來越少


3.  Yadis數學詳解
https://i.imgur.com/Voou5f7.png
想法：
同樣是算前3月的補種數量，論述了存活植栽繼續存活的比例會上升，
可看出補種數量會減少。

存活2個月以上（8個月內會永存）的植栽比例的確會逐漸上升，
所以直覺上補種數量會越來越少。但在「存活1個月」與「補種」這個部分會不會有例外，
造成補種數量在某一時期沒有遞減？ 這是我的問題

比如假設某一月底
永存的有 890 個
存活1個月的有 100 個
補種的有 10 個

則下月底 補種的有
100 ×0.1 + 10 ×0.2 = 12 > 10
→   補種數量沒有遞減

當然這個數字是我亂設的，實際並不會出現這種數字，
但以上詳解答都沒有解釋為何不會出現這種數字，或說沒有嚴謹推論 補種數量會遞減

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【我的作法】用轉移矩陣來推導

我先簡化問題，假設沒有永存的情況，只有「存活過」與「補種」2種情況，

存活過的存活率維持 90%
補種的存活率 80%

在這個存活更不容易的假設下，若能推得補種數量會遞減，
則回到原問題的情境，補種數量也會遞減。

先計算穩定狀態：
https://i.imgur.com/CaWMHhw.png

依據以下性質：
二階轉移矩陣若存在穩定狀態，
且轉移矩陣的元素中沒有0
則超過穩定狀態比例的會逐步遞減，低於穩定狀態比例的會逐步遞增

第一月底，補種的有200，
比例為 200/1000=1/5>1/9
所以補種數量會逐步遞減

（以上我的推論若有問題請告知）



不過這題是數B的題目，一般來說不會考得太難，
用到轉移矩陣來分析似乎有點複雜（108課綱數B也不包含轉移矩陣）
且官方詳解把這題的範圍歸類在數列級數與指數。

我其實不知道這個選項想考什麼，所以請教各位選項(3)能夠簡單的推理出對錯嗎？

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※ 編輯: haveknown (42.74.185.124 臺灣), 01/15/2022 20:57:15
→ cmrafsts    : 假設第n個月種了A(n)，那A(n+2)=0.2A(n+1)+0.08A(n)
→ cmrafsts    : (忽略分數)所以你要的是證明10A(n+1)>A(n)>A(n+1)
→ cmrafsts    : for all n。